数学北师大版6 直线与圆的位置关系第2课时教学设计

这是一份数学北师大版6 直线与圆的位置关系第2课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时 切线的判定及三角形的内切圆





1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)


2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)


3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)











一、情境导入





下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．


二、合作探究


探究点一：切线的判定


【类型一】 已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线


如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．





解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.


证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．


方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题


【类型二】 直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线








如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．


解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．


证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．


方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题


【类型三】 切线的性质和判定的综合应用


如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.


(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；


(2)若AD＝2eq \r(3)，AE＝6，求EC的长．





解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．


(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；


(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋2eq \r(3)，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2eq \r(3))2，解得r＝2eq \r(3).∵OE∥BC，∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(AO,OB)，即eq \f(6,CE)＝eq \f(4\r(3),2\r(3))，∴CE＝3.


方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题


探究点二：三角形的内切圆


【类型一】 利用三角形的内心求角的度数


如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )





A．40°


B．55°


C．65°


D．70°


解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝eq \f(1,2)∠EOF＝55°.故选B.


方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题








【类型二】 求三角形内切圆半径


如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为( )


A．1 B．2 C．1.5 D．2.5


解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝eq \f(6＋8－10,2)＝2.故选B.


方法总结：记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为eq \f(a＋b－c,2)，可以大大简化计算．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题


【类型三】 三角形内心的综合应用


如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.


(1)BE与IE相等吗？请说明理由．


(2)如图②，连接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．





解析：(1)连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出IE＝BE；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．


解：(1)BE＝IE.理由如下：如图①，连接BI，∵I是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，∴BE＝IE；


(2)四边形BECI是菱形．证明如下：∵∠BED＝∠CED＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BE＝CE.∵I是△ABC的内心，∴∠4＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∠ICD＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1)证得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四边形BECI是菱形．


方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．


三、板书设计


切线的判定及三角形的内切圆


1．切线的判定方法


2．三角形的内切圆和内心的概念





本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.