数学九年级下册第24章 圆24.2 圆的基本性质24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第3课时教学设计

这是一份数学九年级下册第24章 圆24.2 圆的基本性质24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第3课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系








1．结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质；


2．能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题(重点，难点)．








一、情境导入


人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？


二、合作探究


探究点：圆心角定理及其推论


【类型一】 圆心角与弧的关系


如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )





A．40°


B．60°


C．80°


D．120°


解析：∵C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝eq \f(1,3)×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.


方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题


【类型二】 圆心角与弦、弦心距间的关系


如图所示，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，则∠A＝________．





解析：由eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.


方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题


【类型三】 圆心角定理及其推论的应用








如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．


证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OA＝OB，OM＝eq \f(1,2)OA，ON＝eq \f(1,2)OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq \(CE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵)).又∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up8(︵))，eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up8(︵))，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


图①


图②








证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题


三、板书设计


1．圆心角定理


在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．


2．圆心角定理推论


在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．





教学过程中，向学生强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，引导学生探究时，要鼓励学生大胆猜想，使其体会数学中转化思想的魅力之处，进而培养学生的逻辑思维能力.