初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试课时练习

这是一份初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形综合与测试课时练习，共9页。

专题训练 求锐角三角函数的方法归类


► 方法一 运用定义求锐角三角函数值


1．如图10－ZT－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( )


A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3)


图10－ZT－1


图10－ZT－2


2．如图10－ZT－2所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tanB的值是( )


A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)


3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求csB的值．

















► 方法二 巧设参数求锐角三角函数值


4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq \f(4,5)，则tanB的值为( )


A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC∶BC＝3∶4，那么sinA＝________．


6．如图10－ZT－3，将矩形ABCD沿CE折叠，使点B恰好落在边AD上的点F处，若eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值．





图10－ZT－3








7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．




















► 方法三 利用同角(等角)求锐角三角函数值


8．如图10－ZT－4，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(点A，D，B在同一条直线上)( )





图10－ZT－4


A.eq \f(h,sinα) B.eq \f(h,csα)


C.eq \f(h,tanα) D．h·csα


9．如图10－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4.求∠BCD的正切值．





图10－ZT－5














10．如图10－ZT－6，在边长为1的小正方形组成的网格中，⊙O的圆心在格点上，连结BC交⊙O于点D，连结AE，DE，求∠AED的余弦值．





图10－ZT－6














11．如图10－ZT－7，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结AD，BD，CD.


(1)求证：AD＝CD；


(2)若AB＝10，cs∠ABC＝eq \f(3,5)，求tan∠DBC的值．





图10－ZT－7




















12．如图10－ZT－8，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，求sinα的值．





图10－ZT－8











► 方法四 利用同角或互余两角的三角函数之间的关系求锐角三角函数值


13．已知α为锐角，且csα＝sin60°，则α＝______度．


14．计算：sin215°＋cs215°－cs30°tan60°.




















15．计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°.














详解详析





1．C [解析] 如图，过点A作AB⊥x轴于点B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用正弦的定义得出sinα＝eq \f(AB,OA)＝eq \f(4,5).





2．C [解析] ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝10.∵∠ACB＝90°，∴BC＝eq \r(102－62)＝8，∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).故选C.


3．解：由勾股定理可求得BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(52－32)＝4，所以csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5).


4．B [解析] 由题意，设BC＝4x，则AB＝5x，AC＝eq \r(AB2－BC2)＝3x，∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(3x,4x)＝eq \f(3,4).故选B.


5.eq \f(4,5) [解析] 设AC＝3x，BC＝4x，根据勾股定理可得AB＝5x，∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4x,5x)＝eq \f(4,5).


6．解：∵四边形ABCD是矩形，


∴AB＝CD，∠D＝90°.


∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，


∴CF＝BC.


∵eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(CD,CF)＝eq \f(2,3).


设CD＝2x，CF＝3x，


∴DF＝eq \r(CF2－CD2)＝eq \r(5)x，


∴tan∠DCF＝eq \f(DF,CD)＝eq \f(\r(5)x,2x)＝eq \f(\r(5),2).


7．解：根据b2＝(c＋a)(c－a)，可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因为5b－4c＝0，所以设b＝4k(k>0)，则c＝5k，根据勾股定理可得a＝3k，


所以sinA＋sinB＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＝eq \f(3k,5k)＋eq \f(4k,5k)＝eq \f(7,5).


8．B [解析] 根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由cs∠BCD＝eq \f(CD,BC)，知BC＝eq \f(CD,cs∠BCD)＝eq \f(CD,cs∠CAD)＝eq \f(h,csα).故选B.


9．解：因为∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.因为CD⊥AB，所以∠B＋∠BCD＝90°，所以∠BCD＝∠A，所以tan∠BCD＝tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4).


10．解：∵eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，∴∠AED＝∠ABC.


在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2，


由勾股定理得BC＝eq \r(5).


∴cs∠AED＝cs∠ABC＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(2 \r(5),5).


11．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°.


又∵OD∥BC，


∴∠AEO＝∠ACB＝90°，


∴OD⊥AC，


∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，


∴AD＝CD.


(2)∵AB＝10，


∴OA＝OD＝eq \f(1,2)AB＝5.


∵OD∥BC，


∴∠AOE＝∠ABC.


在Rt△AEO中，OE＝OA·cs∠AOE＝OA·cs∠ABC＝5×eq \f(3,5)＝3，


∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.


由勾股定理，得AE＝eq \r(OA2－OE2)＝eq \r(52－32)＝4.


在Rt△AED中，tan∠DAE＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).


又∵∠DBC＝∠DAE，


∴tan∠DBC＝eq \f(1,2).


12．解：如图，过点A作AD⊥l1于点D，交l2于点F，过点B作BE⊥l1于点E，设l1和l2之间的距离为1，则l2和l3之间的距离也为1.





∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，


∴∠CAD＝∠BCE.


∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC.


在△ACD和△CBE中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CAD＝∠BCE，,∠ADC＝∠BEC＝90°,AC＝CB，))，


∴△ACD≌△CBE(AAS)，


∴CD＝BE＝1.


在Rt△ACD中，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(5)，


在等腰直角三角形ABC中，


AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(10).


∵l2∥l3，∴∠ABF＝∠α，


∴sinα＝sin∠ABF＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,\r(10))＝eq \f(\r(10),10).


13．30


14．解：原式＝1－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝－eq \f(1,2).


15．解：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋(sin23°＋sin287°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝1＋1＋…＋1＋0.5＝44.5.