还剩17页未读，
继续阅读
人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀当堂达标检测题
展开
这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试优秀当堂达标检测题，共20页。试卷主要包含了当函数y＝，已知点A，对于二次函数y＝ax2+等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．当函数y＝（a﹣1）x+2x是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a＝﹣1
2．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
3．已知二次函数y＝x2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
则m与n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．m≥n
4．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A．B．1C．5D．
5．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（ ）
A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1
C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧
6．已知函数y＝，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（ ）
A．±2B．2或﹣5C．2或5D．﹣2或5
7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（ ）
A．10B．17C．5D．2
8．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（ ）
A．5B．8C．10D．11
9．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），则下列选项中错误的是（ ）
A．2a﹣b＝0B．a+b+c＝0C．abc＞0D．b2≥4ac
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（ ）
A．0＜k＜3B．﹣3＜k＜0C．﹣3＜k＜﹣1D．1＜k＜3
11．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＜1B．h＝1C．1＜h＜2D．h＝2
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题
13．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为 ．
14．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为 ．
15．若将抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到抛物线的顶点坐标是 ．
16．已知二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点，（A点在B点左侧）C为二次函数上一点且横坐标为1，已知△ABC的面积为，则a的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与二次函数y＝﹣x2﹣x+4的图象交于P点（P在第二象限），经过P点与x轴垂直的直线l与一次函数y＝x+4的图象交于Q点，当PQ＝时，则k的值为 ．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号 ．
三．解答题
19．已知抛物线G：y＝x2﹣2mx与直线l：y＝3x+b相交于A，B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标）．
（1）求抛物线y＝x2﹣2mx顶点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点C（﹣2，1），若直线l经过抛物线G的顶点，求△ABC面积的最小值；
（3）若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为100m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m的木栏
（1）若AD＜20m，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用的旧墙AD的长．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
21．抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．
（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点 ， ．
（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为∁n，抛物线∁n经过点An，∁n的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．
①抛物线C2的解析式为 ，顶点坐标为 ．
②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．
③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离： ．
22．自2019年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2019年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线y＝a（x﹣30）2+100表示．
（1）a＝ ；
（2）求图1表示的售价p与时间x的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连结AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意，得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝﹣3x2+k图象的对称轴为y轴，
∴B（1，y2）到y轴的距离最近，C（5，y3）到y轴的距离最远，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
3．解：由表格可得，
二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝＝2，该函数的图象开口向上，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵2＜4＜5，
∴m＞n，
故选：A．
4．解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
5．解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），
∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；
该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；
∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，
∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；
故选：D．
6．解：由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，
∵x≤0，
∴x＝﹣2，
由﹣x﹣1＝﹣6，
解得：x＝5，
综上：x＝﹣2或5，
故选：D．
7．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵当x≥3时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，
∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，
∴a＝1或a＝﹣9（舍去），
∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，
∴函数y＝（x+1）2+1，
∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，
故选：B．
8．解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，
故选：C．
9．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线对称轴是x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
即当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以B选项的结论正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以C选项的结论正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的结论错误．
故选：D．
10．解：设y＝ax2+b|x|+c，
则函数y＝ax2+b|x|+c的图象，如右图所示，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，
∴ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根时，k满足﹣3＜k＜﹣1，
故选：C．
11．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b），
则斜边上的高为h，
故h＝b﹣a2，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴CD＝，
∴＝，
方程两边平方得b﹣a2＝（a2﹣b）2，即h＝（﹣h）2，
因为h＞0，
所以h＝1，是个定值．
故选：B．
12．解：①∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②∵抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确，符合题意；
③∵5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正确，符合题意；
④∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，
﹣0.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．解：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，
则y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
故原点左侧交点坐标为（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）．
14．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，
∴y＝﹣x2+3x+5，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴y﹣x的最大值为6，
故答案为6．
15．解：将抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到抛物线为：y＝﹣3（x+2）2﹣3．
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
16．解：∵y＝ax2+（2a+1）x+a+1＝（ax+a+1）（x+1），
∴当y＝0时，x1＝﹣，x2＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），
∴当a＞0时，点A（﹣，0）、点B（﹣1，0）；当a＜0时，点A（﹣1，0），点B（﹣，0）；
∵C为二次函数上一点且横坐标为1，
∴点C的纵坐标为y＝a+2a+1+a+1＝4a+2，
∵△ABC的面积为，
∴当a＞0时，×（4a+2）＝，得a＝，
当a＜0时，×|4a+2|＝，得a1＝（舍去），a2＝﹣，
由上可得，a的值是或﹣，
故答案为：或﹣．
17．解：设P（m，﹣m2﹣m+4），则Q（m，m+4），
由题意：﹣m2﹣m+4﹣m﹣4＝，
解得m＝﹣1或﹣3，
∴P（﹣1，）或（﹣3，），
∵点P在直线y＝kx上，
∴k＝﹣或﹣，
故答案为﹣或﹣．
18．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a•（﹣3a）＝16a2，所以④错误．
故答案为①②③．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
∴顶点的坐标为（m，﹣m2）；
（2）∵直线l：y＝3x+b过点（m，﹣m2），
∴﹣m2＝3m+b，b＝﹣m2﹣3m，
∴y＝3x﹣m2﹣3m．
解方程组，
解得或，
∵点A的横坐标小于点B的横坐标，
∴A（m，﹣m2），B（m+3，9﹣m2）．
如图，过C作CH⊥x轴交AB于H．
∵C（﹣2，1），直线AB的解析式为y＝3x﹣m2﹣3m，
∴H（﹣2，﹣6﹣m2﹣3m），
∴CH＝1﹣（﹣6﹣m2﹣3m）＝7+m2+3m，
∴S△ABC＝（7+m2+3m）（m+3﹣m）
＝m2+m+
＝（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△ABC的面积最小，最小值是；
（3）i）当m＝0时，抛物线G：y＝x2﹣2mx的图象没有在x轴下方的部分，不合题意舍去；
ii）当m＞0时，由图象可知当0＜x＜2m时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么0＜x1＜2m，0＜x2＜2m，所以0＜x1+x2＜4m，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＞，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＞；
iii）当m＜0时，由图象可知当2m＜x＜0时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么2m＜x1＜0，2m＜x2＜0，所以4m＜x1+x2＜0，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＜﹣，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＜﹣；
综上，当m＞或m＜﹣时，y＝3x+b平移后的式子可与抛物线两交点都落在x轴的下方．
20．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m．
x（100﹣2x）＝450．
解得，x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意，舍去．
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝am，面积为Sm2，
S＝a•＝﹣（a﹣50）2+1250，
∴当a＝50时，S取得最大值，此时S＝1250，
答：矩形菜园ABCD面积的最大值是1250m2．
21．解：（1）对于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，
当x＝0时，y＝0，
当x＝1时，y＝1，
∴抛物线C经过定点（0，0）和（1，1），
故答案为（0，0），（1，1）．
（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，
设平移后的顶点为（m，m），
则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，
∵抛物线C2经过A2（2，4），
∴4＝（2﹣m）2+m，
解得m＝3或0（舍弃），
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2+3，顶点M2（3，3）．
故答案为y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．
②存在．由题意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），
观察图象可知当P（0，2）时，PA1∥A2M2，此时四边形PM1M2A2是矩形．
③由题意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，
设抛物线∁n的解析式为y＝（x﹣m）2+m，
∵∁n经过An，
∴n2＝（n﹣m）2+m，
解得m＝2n﹣1或0（舍弃），
∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），
同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），
∴MnMn﹣1＝＝2．
故答案为2．
22．解：（1）把（10，60）代入y＝a（x﹣30）2+100，得到a＝﹣，
故答案为﹣．
（2）当0≤x＜30时，设P＝kx+b，
把（0，60），（10，80）代入得到，
解得，
∴P＝2x+60．
当30≤x≤40时，设P＝k′x+b′，
把（30，120），（40，100）代入得到，
解得，
∴P＝﹣2x+180．
综上所述，P＝．
（3）设利润为w．
当0≤x＜30时，w＝2x+60﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣4x+50＝（x﹣20）2+10，
∴当x＝20时，w有最小值，最小值为10（元/千克）．
当30≤x≤40时，
w＝﹣2x+180﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣8x+170＝（x﹣40）2+10，
∴当x＝40时，最小利润w＝10（元/千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克．
23．解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PH∥y轴交AD于H，则H（m，m+1），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PH（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；
（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．
x
……
﹣1
1
2
4
5
……
y
……
m
1
p
n
m
……
一．选择题
1．当函数y＝（a﹣1）x+2x是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a＝﹣1
2．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
3．已知二次函数y＝x2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
则m与n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．m≥n
4．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A．B．1C．5D．
5．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（ ）
A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1
C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧
6．已知函数y＝，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（ ）
A．±2B．2或﹣5C．2或5D．﹣2或5
7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（ ）
A．10B．17C．5D．2
8．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（ ）
A．5B．8C．10D．11
9．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），则下列选项中错误的是（ ）
A．2a﹣b＝0B．a+b+c＝0C．abc＞0D．b2≥4ac
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（ ）
A．0＜k＜3B．﹣3＜k＜0C．﹣3＜k＜﹣1D．1＜k＜3
11．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＜1B．h＝1C．1＜h＜2D．h＝2
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题
13．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为 ．
14．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为 ．
15．若将抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到抛物线的顶点坐标是 ．
16．已知二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点，（A点在B点左侧）C为二次函数上一点且横坐标为1，已知△ABC的面积为，则a的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与二次函数y＝﹣x2﹣x+4的图象交于P点（P在第二象限），经过P点与x轴垂直的直线l与一次函数y＝x+4的图象交于Q点，当PQ＝时，则k的值为 ．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号 ．
三．解答题
19．已知抛物线G：y＝x2﹣2mx与直线l：y＝3x+b相交于A，B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标）．
（1）求抛物线y＝x2﹣2mx顶点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点C（﹣2，1），若直线l经过抛物线G的顶点，求△ABC面积的最小值；
（3）若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为100m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m的木栏
（1）若AD＜20m，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用的旧墙AD的长．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
21．抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．
（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点 ， ．
（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为∁n，抛物线∁n经过点An，∁n的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．
①抛物线C2的解析式为 ，顶点坐标为 ．
②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．
③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离： ．
22．自2019年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2019年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线y＝a（x﹣30）2+100表示．
（1）a＝ ；
（2）求图1表示的售价p与时间x的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连结AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意，得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝﹣3x2+k图象的对称轴为y轴，
∴B（1，y2）到y轴的距离最近，C（5，y3）到y轴的距离最远，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
3．解：由表格可得，
二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝＝2，该函数的图象开口向上，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵2＜4＜5，
∴m＞n，
故选：A．
4．解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
5．解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），
∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；
该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；
∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，
∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；
故选：D．
6．解：由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，
∵x≤0，
∴x＝﹣2，
由﹣x﹣1＝﹣6，
解得：x＝5，
综上：x＝﹣2或5，
故选：D．
7．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵当x≥3时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，
∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，
∴a＝1或a＝﹣9（舍去），
∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，
∴函数y＝（x+1）2+1，
∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，
故选：B．
8．解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，
故选：C．
9．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线对称轴是x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
即当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以B选项的结论正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以C选项的结论正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的结论错误．
故选：D．
10．解：设y＝ax2+b|x|+c，
则函数y＝ax2+b|x|+c的图象，如右图所示，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，
∴ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根时，k满足﹣3＜k＜﹣1，
故选：C．
11．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b），
则斜边上的高为h，
故h＝b﹣a2，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴CD＝，
∴＝，
方程两边平方得b﹣a2＝（a2﹣b）2，即h＝（﹣h）2，
因为h＞0，
所以h＝1，是个定值．
故选：B．
12．解：①∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②∵抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确，符合题意；
③∵5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正确，符合题意；
④∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，
﹣0.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．解：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，
则y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
故原点左侧交点坐标为（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）．
14．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，
∴y＝﹣x2+3x+5，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴y﹣x的最大值为6，
故答案为6．
15．解：将抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到抛物线为：y＝﹣3（x+2）2﹣3．
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
16．解：∵y＝ax2+（2a+1）x+a+1＝（ax+a+1）（x+1），
∴当y＝0时，x1＝﹣，x2＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），
∴当a＞0时，点A（﹣，0）、点B（﹣1，0）；当a＜0时，点A（﹣1，0），点B（﹣，0）；
∵C为二次函数上一点且横坐标为1，
∴点C的纵坐标为y＝a+2a+1+a+1＝4a+2，
∵△ABC的面积为，
∴当a＞0时，×（4a+2）＝，得a＝，
当a＜0时，×|4a+2|＝，得a1＝（舍去），a2＝﹣，
由上可得，a的值是或﹣，
故答案为：或﹣．
17．解：设P（m，﹣m2﹣m+4），则Q（m，m+4），
由题意：﹣m2﹣m+4﹣m﹣4＝，
解得m＝﹣1或﹣3，
∴P（﹣1，）或（﹣3，），
∵点P在直线y＝kx上，
∴k＝﹣或﹣，
故答案为﹣或﹣．
18．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a•（﹣3a）＝16a2，所以④错误．
故答案为①②③．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
∴顶点的坐标为（m，﹣m2）；
（2）∵直线l：y＝3x+b过点（m，﹣m2），
∴﹣m2＝3m+b，b＝﹣m2﹣3m，
∴y＝3x﹣m2﹣3m．
解方程组，
解得或，
∵点A的横坐标小于点B的横坐标，
∴A（m，﹣m2），B（m+3，9﹣m2）．
如图，过C作CH⊥x轴交AB于H．
∵C（﹣2，1），直线AB的解析式为y＝3x﹣m2﹣3m，
∴H（﹣2，﹣6﹣m2﹣3m），
∴CH＝1﹣（﹣6﹣m2﹣3m）＝7+m2+3m，
∴S△ABC＝（7+m2+3m）（m+3﹣m）
＝m2+m+
＝（m+）2+，
∴当m＝﹣时，△ABC的面积最小，最小值是；
（3）i）当m＝0时，抛物线G：y＝x2﹣2mx的图象没有在x轴下方的部分，不合题意舍去；
ii）当m＞0时，由图象可知当0＜x＜2m时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么0＜x1＜2m，0＜x2＜2m，所以0＜x1+x2＜4m，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＞，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＞；
iii）当m＜0时，由图象可知当2m＜x＜0时图象在x轴下方．
设平移直线l后的解析式为y＝3x+a，新的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2），如果两个交点都在x轴下方，那么2m＜x1＜0，2m＜x2＜0，所以4m＜x1+x2＜0，0＜x1•x2＜4m2．
联立，得x2+（﹣2m﹣3）x﹣a＝0，
∴，
解②得m＜﹣，
由①得a＞﹣，
由③得﹣4m2＜a＜0，
∵平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，
∴存在a满足条件，①与③必有公共部分，则﹣＜0，显然成立，
∴m＜﹣；
综上，当m＞或m＜﹣时，y＝3x+b平移后的式子可与抛物线两交点都落在x轴的下方．
20．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m．
x（100﹣2x）＝450．
解得，x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意，舍去．
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝am，面积为Sm2，
S＝a•＝﹣（a﹣50）2+1250，
∴当a＝50时，S取得最大值，此时S＝1250，
答：矩形菜园ABCD面积的最大值是1250m2．
21．解：（1）对于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，
当x＝0时，y＝0，
当x＝1时，y＝1，
∴抛物线C经过定点（0，0）和（1，1），
故答案为（0，0），（1，1）．
（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，
设平移后的顶点为（m，m），
则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，
∵抛物线C2经过A2（2，4），
∴4＝（2﹣m）2+m，
解得m＝3或0（舍弃），
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2+3，顶点M2（3，3）．
故答案为y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．
②存在．由题意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），
观察图象可知当P（0，2）时，PA1∥A2M2，此时四边形PM1M2A2是矩形．
③由题意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，
设抛物线∁n的解析式为y＝（x﹣m）2+m，
∵∁n经过An，
∴n2＝（n﹣m）2+m，
解得m＝2n﹣1或0（舍弃），
∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），
同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），
∴MnMn﹣1＝＝2．
故答案为2．
22．解：（1）把（10，60）代入y＝a（x﹣30）2+100，得到a＝﹣，
故答案为﹣．
（2）当0≤x＜30时，设P＝kx+b，
把（0，60），（10，80）代入得到，
解得，
∴P＝2x+60．
当30≤x≤40时，设P＝k′x+b′，
把（30，120），（40，100）代入得到，
解得，
∴P＝﹣2x+180．
综上所述，P＝．
（3）设利润为w．
当0≤x＜30时，w＝2x+60﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣4x+50＝（x﹣20）2+10，
∴当x＝20时，w有最小值，最小值为10（元/千克）．
当30≤x≤40时，
w＝﹣2x+180﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣8x+170＝（x﹣40）2+10，
∴当x＝40时，最小利润w＝10（元/千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克．
23．解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PH∥y轴交AD于H，则H（m，m+1），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PH（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；
（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．
x
……
﹣1
1
2
4
5
……
y
……
m
1
p
n
m
……
相关试卷
苏科版九年级下册5.1 二次函数课后测评： 这是一份苏科版九年级下册5.1 二次函数课后测评，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题： 这是一份初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题： 这是一份初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题，共9页。试卷主要包含了填空题)，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
