第五章数列专练8—数列求和（裂项相消）-2021届高三数学一轮复习

数列专练8—数列求和（裂项相消）1．若数列的前项和为，点，在的图象上，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，且对任意正整数都有，求证：对任意正整数，总有．解：点，在的图象上，，当时，，，化为，当时，，解得．．（2）证明：对任意正整数都有，．当时，．，又．．2．已知数列和数列，数列的前项和记为，，，点，在对数函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数．解（1）由可得，两式相减得，即，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以，所以．（7分）（2），（9分）所以（11分）因此，使得成立的必须且仅须满足，即，满足要求的最小整数为（14分）3．设数列满足且．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：．解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，．（Ⅱ），．4．已知数列的前项和为，，，．（1）求；（2）求．解：（1），，，可得，可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，可得，由，可得；（2），即有． 5．已知正数数列的前项和为，满足，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，数列的前项和为，求使得对于所有都成立的最小正整数．证明：，，，，又正数数列的前项和为，．，是等差数列，公差为1，首项为1．解：由可得：，．．解：，数列的前项和为，使得对于所有都成立，则，解得．因此使得对于所有都成立的最小正整数．6．设各项均为正数的数列的前项和为满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．解：（1）令得：，即．．，，即．（2）由得：．，．．当时，，又，．（3）由（2）可知，，，当时，显然有；当时，所以，对一切正整数，有．7．正项数列的前项和满足：，（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的且，都有  ．解：（1）由已知得．（2分）由于是正项数列，所以．（3分）于是，（4分）当时，．（6分）综上，数列的通项．（7分）（2）证明：当时，由，得．（9分）（12分）．（14分）8.已知数列，，．（1）证明是等比数列．（2）若，求数列的前项和．（3）证明．（1）证明：由．可得：，当时，，，是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）解：，，，；（3）证明：，，又，，综上：． 9．数列的前项和记为，对任意的正整数，均有，且．（1）求及的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）当时，，则；当时，由，知，联立两式，得，化简得，，，即是以为首项，2为公差的等差数列，故；（2），下面对分奇偶数讨论：当为偶数时，，当为奇数时，，所以．