专题09 利用裂项相消法数列求和(原卷版)

专题09 利用裂项相消法数列求和

【知识总结】

1．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

(2)常见的裂项技巧

①＝－。

②＝。

③＝。

④＝－。

⑤＝。

【例题讲解】

【例1】已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。

【变式训练】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<。

【例题训练】

一、单选题

1．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为（    ）

A． B． C． D．

2．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，，，…，的和是（    ）

A． B．

C． D．

3．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

4．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列满足，，则数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

二、解答题

6．已知数列的前项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

7．数列各项都为正数，前项和为，，，当时，.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

8．等差数列各项都为正数，，，

当时，.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

9．已知数列是等差数列，若，且，，成等比数列，数列满足．

（1）求数列，数列的通项公式；

（2）若数列为正项等差数列，设，求证：数列的前项和．

10．设数列的前项和为，已知、、成等差数列，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，的前项和为，求使成立的最大正整数的值．

11．等差数列的前项和为，已知，为整数，且.

（1）求的通项公式； 

（2）设，求数列的前项和.

12．给出下列三个条件：①，，成等差数列；②；.③对于，点均在函数的图像上，其中为常数.请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解.

设是一个公比为的等比数列，且它的首项，        （填所选条件序号）.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，设数列的前项和为，求

13．已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

14．已知等差数列的前项和为，，，且，，成等比数列．

（1）求和；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

15．已知数列，，满足，，，.

（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；

（2）若为等差数列，且，证明，.

16．已知数列为正项等比数列，，数列满足，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若的前项和，求的取值范围.

17．已知数列的前项和为，，且（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

18．数列中，，.

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为.求证：.

19．已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn>成立的n的最小值.

21．等差数列的前n项和为，已知，为整数，当且仅当时取得最大值.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

22．已知正项数列的前项和为，且满足：，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

23．已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，

（1）求数列，的通项公式.

（2）若，求.

24．已知为等差数列的前项和，满足，，为数列的前项和，满足，.

（1）求和的通项公式；

（2）设，若数列的前项和，求的最大值.

25．已知数列前n项和满足

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

三、填空题

46．已知数列满足，若，则数列的前项和________.

47．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为_________

48．已知的前项和，数列的前5项和______.

49．在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，求证：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

50．数列 前n项和为Sn，若， 则_________.