初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第1课时学案

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第1课时学案，共9页。学案主要包含了自主探究　得到概念，合作探究　完成例题，课堂小结　系统知识，当堂训练　提升能力等内容，欢迎下载使用。

28.1 锐角三角函数


锐角三角函数(第1课时)





学习目标


1.理解认识正弦概念;


2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值.


学习过程


一、自主探究 得到概念


1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?


这个问题可以归结为:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB的长.





思考:


(1)如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?


答:


(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于 .


(3)直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是 .


(4)在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值?


答:


(5)推理与证明:观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?





解:








2.结论:在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比是一个 ,也即是对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边的 是唯一确定的.


3.认识正弦





如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,∠C=90°,我们把锐角A的 的比叫做∠A的正弦,记作sin A.


sin A=.


4.追问:(1)∠B的正弦怎么表示?


答:


(2)在Rt△ABC中,若a=1,c=3,则sin A= sin B= .


二、合作探究 完成例题





1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.


【思路点拨】根据勾股定理,先求出AC的长,再运用正弦的定义计算即可.


解:





2.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,sin A=,求AB的长.


【思路点拨】根据正弦的定义可以得到BC与AB的比值,因而可以设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理即可求得x的值,进而得到AB的长度.


解:





三、课堂小结 系统知识


1.什么是正弦?


答:


2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:


(1)正弦是一个 ,没有单位.


(2)正弦值只与 的大小有关,与三角形的大小无关.


(3)sin A是一个 符号,不能写成sin ·A.


(4)当用 字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.


(5)sin2A表示 ,不能写成sin A2.


四、当堂训练 提升能力


1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值( )


A.不变


B.缩小为原来的三分之一


C.扩大为原来的3倍


D.不能确定





2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sin A的值是( )


A.


B.


C.


D.





3.如图所示,已知P点的坐标是(a,b),则sin α等于( )


A.


B.


C.


D.


4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sin B的值为 .





第4题图 第5题图


5.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sin A=且AB=15,则BC= .





6.如图,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,求sin C的值.


解:














评价作业(满分100分)


1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值为( )


A. B.


C.D.2





2.(8分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sin α的值是( )


A.


B.


C.


D.


3.(8分)在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,则BC等于( )


A.45B.5


C.D.





4.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为( )


A.


B.


C.


D.


5.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sin A= .


6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=,则AB= .





7.(12分)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC= ,sin∠ADC= ,sin∠ABC= .


8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.

















9.(10分)如图所示,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A=.


(1)求BE的长;








(2)求菱形ABCD的面积.














10.(20分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.

















参考答案


学习过程


一、1.自主探究 得到概念


思考:


(1)答:100 m 2a m.


(2).


(3).


(4)答:是一个固定值.


(5)解:∵Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中,∠A是它们的公共角,


∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3,


∴.


2.固定值 比值.


3.对边与斜边


4.追问:(1)答:sin B=.


(2).


二、合作探究 完成例题


1.解:如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC==12.


因此sin A=,sin B=.


2.解:∵在直角△ABC中,sin A=,


∴设BC=2x,则AB=3x,


根据勾股定理可以得到:(3x)2-(2x)2=25,


即5x2=25,


解得:x=,


则AB=3x=3.


三、课堂小结 系统知识


1.答:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=.


2.(1)比值 (2)角 (3)整体 (4)三个 (5)(sin A)2


四、当堂训练 提升能力


1.A 2.C 3.D 4. 5.9


6.解:连接OD,


∵CD是☉O的切线,∴∠ODC=90°,


∵AC=7,AB=4,∴半径OA=2,


则OC=AC-AO=7-2=5,


∴sin C=.





评价作业


1.A 2.C 3.B 4.A 5. 6.6 7.


8.解:由勾股定理可得AB=(cm),所以sin A=,sin B=.


9.解:(1)∵菱形ABCD的周长为40 cm,


∴AD=AB=10 cm.


又∵DE⊥AB,sinA=,


∴,即,





解得DE=6,


在直角△ADE中,由勾股定理得到:AE==8,


则BE=AB-AE=10-8=2,即BE=2 cm.


(2)由(1)知DE=6,则菱形ABCD的面积=AB·DE=10×6=60(cm2).





10.解:如图所示,作DE⊥AB于E.设BC=AC=2x,∵BD为AC边上的中线,∴CD=AD=AC=x.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BD=x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=x,在Rt△BDE中,sin∠ABD=.