【数学】甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二12月月考（文） 试卷
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说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是( )
A.(0，1) B. (1，0) C．(，0) D． (0，)
2．若命题,，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C. , D. ,
3．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则( )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
4．有下列三个命题:
①“若,则互为相反数”的逆命题;
②“若,则”的逆否命题;
③“若,则”的否命题.
其中真命题的个数是( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．曲线与的关系是( )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
7．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
8．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
10. 当双曲线的离心率取得最小值时，的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11. 过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（ 在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
12．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 命题“若则”的逆否命题是______________.
14．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
15.如果直线与曲线 有两个公共点, 那么的取值范围是______________.
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
求适合下列条件双曲线的方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦点在轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为 .
18. (本小题满分12分)
已知命题,,命题若命题是真命题,求实数的取值范围.
19. (本小题满分12分)
设，命题命题.
(1)
(2)若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.
20. (本小题满分12分)
若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点
(1)若双曲线上一点M到左焦点F1的距离等于7，求点M到右焦点F2的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
21. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
22.(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
参考答案
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是( D )
A.(0，1) B. (1，0) C．(，0) D． (0，)
2．若命题,，则命题的否定是（ C ）
A．， B．，
C., D.,
3．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则( B )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
4．有下列三个命题:
①“若,则互为相反数”的逆命题;
②“若,则”的逆否命题;
③“若,则”的否命题.
其中真命题的个数是( B ).
A.0 B.1 C.2 D.3
5．“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．曲线 与的关系是( B )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
7．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( A )
8．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
9．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为（ D ）
A. B. C. 1 D.
10. 当双曲线的离心率取得最小值时，的渐近线方程为（ A ）
A． B． C． D．
11.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（ 在的上方），且与准线交于点，若，则 （ A ）
A． B． C． D．
12．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
- 命题“若则”的逆否命题是 .
【答案】若，则
14．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
15.如果直线与曲线 有两个公共点, 那么的取值范围是 【答案】
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为______________．【答案】-5
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
求适合下列条件双曲线的方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦点在轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ>0).
a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；
∴双曲线的标准方程为－＝1
18. (本小题满分12分)
已知命题,,命题若命题是真命题,求实数的取值范围.
解：为真命题，，都为真命题.
命题为真命题，即当时，恒成立，.
命题为真命题，即方程有实根，，或.
综上，得或，即实数的取值范围为.
19. (本小题满分12分)
设命题.
(1)
(2)若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.
解：，．
（1）当时，．
若“且”为真命题，则
（2）当时，，
由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，
当时，，要使是的真子集，须，即．
当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件．
因此，的取值范围是．
20. (本小题满分12分)
若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点
(1)若双曲线上一点M到它左焦点F1的距离等于7，求点M到右焦点F2的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解：(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它左焦点的距离等于7，假设点M到右焦点的距离等于x，则|7－x|＝6，解得x＝1或x＝13.
由于c－a＝5－3＝2,1<2,13>2，
故点M到另一个焦点的距离为13.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
- (本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）由题意知，
又椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的方程为，设 ，
当时，设，显然，
联立，即,
又，即为线段的中点，
故直线的斜率，
又，所以直线的方程为
即，显然恒过定点，
当时，过点，综上所述，过点.
- (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.
解：（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
则抛物线的方程为.
设切线的方程为，代入得，
由得，
当时，的横坐标为，则，
当时，同理可得.
（2）由（1）知，，则以线段为直径的圆为圆，
根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，
因为为直线与圆的切点，所以，，所以，所以，
所以直线的方程为，代入得，
设，所以，
所以，
所以，
设，因为，所以，所以，
所以.
