【数学】福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试题（理）
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高二上学期第二次月考试题（理）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知曲线在点处的切线斜率，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )
A. B. C. D.
3.“”是方程表示椭圆的 条件
A. 必要但不充分 B. 充分但不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，使点M与点A、B、C一定共面的为（ ）
A、=2-- B、=++
C、++= D、+++=
6．已知线性相关的两个变量之间的几组数据如下表：
变量x | 2.7 | 2.9 | 3 | 3.2 | 4.2 |
变量y | 46 | 49 | m | 53 | 55 |
且回归方程为，经预测时，的值为60，则m=( )
A.53 B.52 C.51 D.50
7．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
8.如图所示，在长方体中，，点E是棱AB的中点，则E点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的是
A. 命题“若方程x2＋x－m=0有实根，则m>0”的逆命题为真命题
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“直线与直线垂直”的充要条件
D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
10.椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣2x相交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
11.如图，正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是
A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆
12.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 )
A. 6 B. 3 C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于_____.
14.已知双曲线的两条渐近线方程为，若焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程为
15．在60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长度为 .
16.图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，
已知图甲中从左向右第一组的频数为在样本中记月收入在，，，，，的人数依次为、、图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的______用数字作答
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分） 已知在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG =．
（Ⅰ）求证：EF⊥B1C； （Ⅱ）求EF与G C1所成角的余弦值；
18. （本小题满分12分）已知双曲线C：的离心率为，虚轴长为4，
（1） 求双曲线C的标准方程；
（2） 若过点（0，1），倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C:y2=2px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（1，0）作直线交抛物线C于A、B两点，求证：+恒为定值。
20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．
21（本小题满分12分）.某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
2 | |
3 | |
5 | |
15 | |
40 | |
35 | |
(Ⅰ在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
Ⅱ从对B餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
Ⅲ如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
22. （本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．
若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．
参考答案
一、选择题：(每题5分，共60分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | B | C | B | C | D | A | B | B | A |
二、填空题(每题5分，共20分)
13、1 14、 15、 16、6000
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤
17. 解：如图建立空间直角坐标系O—xyz，
设正方体的棱长为4，则E (0，0，2)，F (2，2，0)，
C (0，4，0)，B (4，4，0)，C1(0，4，4)，B1(4，4，4)，G (0，3，0) ． （2分)
（Ⅰ），
∴．
∴． ∴EF⊥B1C． 6分
（Ⅱ），∴ ．
又∵，
∴． （11分）
因为，EF与GC1所成角的范围为（0，] 所以，EF与GC1所成角的余弦值为
18解：Ⅰ依题意可得，解得，
双曲线的标准方程为
Ⅱ直线l的方程为，设、，
由可得，由韦达定理可得 ，，
即 ，
原点到直线l的距离为，于是，
的面积为．
19. 解：（1）依题意得：+4=5 ∴P=2
∴抛物线C标准方程为y2=4x （4分）
（2）当l斜率不存在时，+=+=1 （6分）
当l斜率存在时，设l直线方程为：y=k(x-1)（k≠0）代入y2=4x
得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=， x1x2=1
∴+=+==1 （10分）
综上得+恒为定值1。 （12分）
19. 解：（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设 是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴ 故二面角B—DE—C的余弦值为
（Ⅲ）∵ ∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由 ∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF
21【答案】解：Ⅰ由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为，分
所以，对A餐厅评分低于30的人数为；分
Ⅱ对B餐厅评分在范围内的有2人，设为、；
对B餐厅评分在范围内的有3人，设为、、；
从这5人中随机选出2人的选法为：
，，，，，，，
，，共10种分
其中，恰有1人评分在范围内的选法为：，，，
，，共6种；分
故2人中恰有1人评分在范围内的概率为；分
Ⅲ从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由Ⅰ得，抽样的100人中，
A餐厅评分低于30的人数为20，所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为；
B餐厅评分低于30的人数为，所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为；
所以会选择B餐厅用餐分
22【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，由直线与圆相切，可得，解得，即有椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，，将直线代入椭圆，
可得，即有，
，，由，
即有，
代入韦达定理，可得，化简可得，
则直线的方程为，即，故直线l恒过定点；
由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，即有，
即为，
可得，解得，代入，
可得，且．由O到直线的距离为，
弦长AB为，
则面积为，
当且仅当，即时，取得最大值．
则面积的取值范围为
