【数学】广西蒙山县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考（理） 试卷

广西蒙山县第一中学2019-2020学年

高二上学期第二次月考（理）

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中只有一项是符合题目要求的）

1.设命题 则 为(        )

A.    B.

C.    D.

2.设是椭圆上的任意一点，若、是椭圆的两个焦点，则(　　)

A．10         B．8       C．5           D．4

3.椭圆的焦距为2，则m的值等于（  ）.

A.5               B. 8           C.3          D.3或5   

4.等差数列的首项，公差，如果成等比数列，那么等于(    )

A．3              B．       C．－2       D．2

5.在等差数列中，已知，则（   ）

A.           B.         C.           D.

6. 设，那么是的（   ）

A．必要不充分条件 

B.充分不必要条件 

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

7.关于 的不等式 的解集是 1，  ，则关于的不等式的解集是（      ）   

A. - ，-1 3，     B. 1，3    C. -1，3     D. - ，1 3， 

8.等比数列中，若是方程的两根，则的值为（   ）.

A.2         B.-2           C.-1           D.1

9.在中，若，则的形状一定是（ ）

A．等腰直角三角形    B. 直角三角形      C.等边三角形    D.等腰三角形

10.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为(　 　)

A.       B.        C.        D.

11.若直线的方向向量为，平面的法向量为,则（   ）.

A.   B.‖  C.  D.与相交

12.在中,内角的对边分别是,若,,且,则等于(  )

A.4       B.3           C.2         D.1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为         

14.一个等差数列的前12 项和为 354 ，前12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32 : 27 ，则数列的公差 d           

15.点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是        

16.已知，，若，则的最小值为______．

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，M是PD的中点.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．

18.（本小题12分）.中的对边分别是已知

,且

（1）求的大小；

（2）若,求的面积S.

19.（本小题12分）点位于椭圆内，过点的直线与椭圆交于两点、，且点为线段的中点，求直线的方程及的值。

20.已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2， M是PB的中点．

(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；

(2)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；

(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．

21.（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且

．

（1）求的值；

（2）若，且，求和的值．

22.（本小题12分）已知数列{}的前n项和为．

（1）求这个数列的通项公式；

（2）若，求数列{}的前n项和。

参考答案

一、选择题答案

二、填空题

13、4      14、5      15、         16、4     

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17．(1)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，

则PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，又BM∩AB＝B.因此有PD⊥平面ABM，又PD平面PCD.所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，

P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，

设平面ABM的一个法向量n＝(x，y，z)，

由n⊥，n⊥

可得令z＝－1，则y＝1，

即n＝(0,1，－1)．

设所求角为α，则sin α＝＝，

故所求的角的正弦值为.

18.解：（1）

（2） 

解得：或

19.解（1）由得

直线AB的方程为即

（2）由消去得  

20．解：以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0, 0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，)．

(1)证明：设平面PCD的法向量为，，,

,可得  ，令=1，即 .

平面PAD的法向量为，

,

    即平面PAD平面PCD.

(2)因 ＝(1,1,0)， ＝(0,2，－1)，

故| |＝，| |＝， · ＝2，

所以cos< ， >=＝.

(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使 ＝λ ，                                                                                                                   

＝(1－x,1－y，－z)， ＝(1,0，－)，

∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ.

要使AN⊥MC，只需 · ＝0即x－z＝0，

解得λ＝.

可知当λ＝时，N点坐标为(，1，)，

能使 · ＝0.

此时，＝(，1，)， ＝(，－1，)，

有 · ＝0

由 · ＝0， · ＝0得AN⊥MC，BN⊥MC.

所以∠ANB为所求二面角的平面角．

∵| |＝，| |＝， · ＝－.

∴cos〈， 〉＝＝－.

∴平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为－.

21．（1）由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

则2RsinBcosC＝6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC＝3sinAcosB﹣sinCcosB，

可得sinBcosC+sinCcosB＝3sinAcosB，即sin（B+C）＝3sinAcosB，

可得sinA＝3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）

（2）解：由，可得accosB＝2，，

由b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2＝12，

所以（a﹣c）2＝0，即a＝c，所以．（12分）

22.（1）数列{an}的前n项和为①．

当n＝1时，解得a1＝3．当n≥2时，②

①﹣②得2n+1．

由于首项符合通项，故an＝2n+1．

（2）由（1）得，

所以①，

2②，

①﹣②得

整理得，

，所以