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初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用获奖课件ppt
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用获奖课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了素养目标，解直角三角形的应用，连接中考等内容，欢迎下载使用。
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
1. 巩固解直角三角形相关知识 .
2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.
（2）两锐角之间的关系；
（3）边角之间的关系.
（1）三边之间的关系；
利用解直角三角形解答简单的问题
小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30° ，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?
解：BD=ABsin30°=150m
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？
小明需要115.5s才能到达目的地.
231÷2=115.5（s）
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结果取整数）？
建立直角三角形模型解答简单的问题
解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.
【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？
解：如图所示，依题意可知∠B= 60°
答：梯子的长至少4.62米.
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
建立直角三角形模型解答生活问题
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
∴AC=ABcs∠CAB=1.5m.
∴ CD=AD－AC=1.5m.
∴ CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m ,两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°,求南楼的影子在北楼上有多高？
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?
图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）.
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°. ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°. 在Rt△ACF中，∵ ， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE， AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两棵树距离的有( ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设AC代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， AC=500km，地球的半径为6370 km，cs4.5°= 0.997)？
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
1. 巩固解直角三角形相关知识 .
2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.
（2）两锐角之间的关系；
（3）边角之间的关系.
（1）三边之间的关系；
利用解直角三角形解答简单的问题
小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30° ，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?
解：BD=ABsin30°=150m
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？
小明需要115.5s才能到达目的地.
231÷2=115.5（s）
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结果取整数）？
建立直角三角形模型解答简单的问题
解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.
【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？
解：如图所示，依题意可知∠B= 60°
答：梯子的长至少4.62米.
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
建立直角三角形模型解答生活问题
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
∴AC=ABcs∠CAB=1.5m.
∴ CD=AD－AC=1.5m.
∴ CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m ,两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°,求南楼的影子在北楼上有多高？
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?
图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）.
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°. ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°. 在Rt△ACF中，∵ ， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE， AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两棵树距离的有( ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设AC代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， AC=500km，地球的半径为6370 km，cs4.5°= 0.997)？
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
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