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2019-2020学年湖北省武汉市第三寄宿学校八年级下学期月考数学试卷 （解析版）
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2019-2020学年湖北省武汉市第三寄宿学校八年级第二学期月考数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x⩾﹣3 B．x＜3 C．x⩾3 D．x⩽﹣3
2．（3分）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
5．（3分）下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等且互相平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（3分）如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
9．（3分）已知x＜1，那么化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．1﹣x C．﹣x﹣1 D．x+1
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（ ）
A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3
11．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（ ）
A．2 B． C． D．：1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24.0分）
13．（4分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝ ．
14．（4分）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为 ．
15．（4分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝66°，则∠AED′的度数为 ．
16．（4分）如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 ．
18．（4分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（10分）计算：
（1）﹣+
（2）（÷+）×．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3cm，BC＝13cm，CD＝12cm，AD＝4cm，求四边形ABCD的面积．
21．（10分）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
22．（10分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求BE的长．
23．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．
24．（12分）已知，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD，AB∥CD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，若AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为边CD上一点，过点E作EF⊥BE交AD于点F，点G为CF中点，连接BF，EG，当∠CBD＝90°，且AD＝4时，若EG＝1，求线段CF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36.0分）
1．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x⩾﹣3 B．x＜3 C．x⩾3 D．x⩽﹣3
解：由题意可知：﹣3+x≥0，
∴x≥3，
故选：C．
2．（3分）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、原式＝（）2＝32＝9，错误；
B、原式＝|﹣2|＝2，错误；
C、原式＝|﹣7|＝7，正确；
D、原式＝|x|，错误，
故选：C．
3．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形，该说法正确；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形，该说法正确．
故选：D．
4．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选：D．
5．（3分）下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等且互相平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
解：A、错误．菱形的对角线互相垂直平分．
B、正确．矩形的对角线相等且互相平分．
C、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形．
故选：B．
6．（3分）如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，
根据四边相等的四边形是菱形可得，剪下的图形是菱形，
故选：B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
解：∵连接AB交OC于点D
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，
∵点C的坐标是（4，0），点B的纵坐标是﹣1，
∴OC＝4，BD＝AD＝1，
∴OD＝CD＝2，
∴点A的坐标为：（2，1）．
故选：A．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE＝BC＝×2＝1，
∴DE＝．
故选：A．
9．（3分）已知x＜1，那么化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．1﹣x C．﹣x﹣1 D．x+1
解：∵x＜1，
∴x﹣1＜0，
∴＝|x﹣1|＝1﹣x．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（ ）
A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3
解：如图，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠ABE＝∠DEF，
在△BAE与△EDF中，
，
△BAE≌△EDF，
∴DF＝AE＝2，
∴AB＝CD＝DF+CF＝3，
在Rt△BAE中，BE＝＝，
∴BF＝，
∵EG⊥BF，
∴∠EHB＝∠BHG＝90°，BH＝BF＝，
在Rt△BCF中，BC＝＝5，
∵∠HBG＝∠CBF，∠BHG＝∠C＝90°，
∴△BHG∽△BCF，
∴＝，即＝，
解得BG＝＝2.6．
故选：A．
11．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选：C．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（ ）
A．2 B． C． D．：1
解：连接CC′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠C′AE＝∠AEB＝∠AEC′，
∴AC′＝EC′，
∵EC＝EC′，
∴AC′＝EC，
∴四边形AC′CE是平行四边形，
∵AC⊥EC′，
∴四边形AC′CE是菱形，
∴AC′＝AE＝EC′，
∴△AEC′是等边三角形，
∴∠EAC′＝60°，
∴∠ACB＝∠CAC′＝∠EAC′＝30°，
在Rt△ABC中，＝tan60°＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24.0分）
13．（4分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝ （a+）（a﹣） ．
解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．
故答案为：（a+）（a﹣）．
14．（4分）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为 14 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，OA＝OC＝4，OB＝OD＝5，
∴△OCD的周长＝5+4+5＝14，
故答案为14．
15．（4分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝66°，则∠AED′的度数为 48° ．
解：∵AD∥BC，∠EFB＝66°，
∴DEF＝66°，
又∵∠DEF＝∠D′EF，
∴∠D′EF＝66°，
∴∠AED′＝180°﹣2×66°＝48°．
故答案为：48°．
16．（4分）如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 5 ．
解：如图所示：AB＝＝5．
故答案为：5．
17．（4分）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 5 ．
解：延长BP与AC相交于D，延长MP与AB相交于E
因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP
所以△ABP≌△APD
于是BP＝PD
又∵M是BC边的中点
故PM∥AC
所以∠2＝∠3
又因为∠1＝∠3
所以∠1＝∠2，EP＝AE＝AB＝×12＝6
AD＝2EP＝2×6＝12
DC＝22﹣12＝10
PM＝DC＝×10＝5
故MP的长为5．
故答案为5．
18．（4分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是 1 ．
解：由折叠得：∠BCE＝∠OCE，
∵ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵AECF是菱形，
∴∠OCE＝∠OCF，
∴∠BCE＝∠OCE＝∠OCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝，
∴BE＝tan30°×BC＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（10分）计算：
（1）﹣+
（2）（÷+）×．
解：（1）﹣+
＝2﹣4+2﹣
＝﹣3+2；
（2）（÷+）×
＝（+2）×
＝3×
＝6．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3cm，BC＝13cm，CD＝12cm，AD＝4cm，求四边形ABCD的面积．
解：连接BD，如图所示：
∵∠A＝90°，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BD＝＝5cm，
在△ACD中，BD2+CD2＝25+144＝169＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•AD+BD•CD＝×3×4+×5×12＝36（cm2）．
故四边形ABCD的面积是36cm2．
21．（10分）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS）．
（2）连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
22．（10分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求BE的长．
解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由折叠可知，∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB．
∴BE＝BF；
（2）在矩形ABCD中，∠A＝90°，
由折叠知BE＝ED，
设AE＝x，那么DE＝BE＝9﹣x，
在Rt△BAE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，即AE＝4，
∴BE＝9﹣4＝5．
23．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AF，
∴BD＝AF，
∵∠BDC＝∠AEC，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵AF∥BD，BD⊥AC
∴AF⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE，
∴△DAE是等腰三角形，
∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，
∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．
24．（12分）已知，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD，AB∥CD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，若AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为边CD上一点，过点E作EF⊥BE交AD于点F，点G为CF中点，连接BF，EG，当∠CBD＝90°，且AD＝4时，若EG＝1，求线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BC＝BD．
（2）证明：如图2中，作BM⊥CD于M，DN⊥AB于N．
∵AB∥CD，
∴∠DBN＝∠BDM，
∵BD＝DB，∠DNB＝∠BMD＝90°，
∴△DNB≌△BMD（AAS），
∴DN＝BM，BN＝DM
∵AD＝BC，∠AND＝∠BMC＝90°，
∴Rt△ADN≌Rt△CBM（HL），
∴AN＝CM，
∴AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（3）解：如图3中，作EK⊥AD交AD的延长线于K，交BC于H，交CF于G′，作FT⊥AD交CD的延长线于T，作CW⊥AD交AD的延长线于W．
∵BD＝BC，∠DBC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵EF⊥EB，
∴∠FEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠FDB＝∠FEB，
∴D，F，B，E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BDC＝45°，
∴∠EFD＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BE，
∵∠FEK+∠EFK＝90°，∠FEK+∠BEH＝90°，
∴∠FEK＝∠BEH，
∵∠FKE＝∠EHB＝90°，
∴△FKE≌△EHB（AAS），
∴FK＝CH，
∵∠FG′K＝∠CG′H，∠FKG′＝∠CHG′，
∴△FKG′≌△CHG′（AAS），
∴FG′＝CG′，
∵FG＝GC，
∴G与G′重合，
∴EG∥FT，∵FG＝HC，
∴TE＝EC，
∴TF＝2EG＝2，
∵∠TDF＝45°，
∴DF＝TF＝2，
∵CW⊥AD，易证四边形BDWC是正方形，
∴CW＝DW＝BD＝AD＝4，
在Rt△CFW中，CF＝＝＝2．
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x⩾﹣3 B．x＜3 C．x⩾3 D．x⩽﹣3
2．（3分）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
5．（3分）下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等且互相平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（3分）如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
9．（3分）已知x＜1，那么化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．1﹣x C．﹣x﹣1 D．x+1
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（ ）
A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3
11．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（ ）
A．2 B． C． D．：1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24.0分）
13．（4分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝ ．
14．（4分）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为 ．
15．（4分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝66°，则∠AED′的度数为 ．
16．（4分）如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 ．
18．（4分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（10分）计算：
（1）﹣+
（2）（÷+）×．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3cm，BC＝13cm，CD＝12cm，AD＝4cm，求四边形ABCD的面积．
21．（10分）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
22．（10分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求BE的长．
23．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．
24．（12分）已知，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD，AB∥CD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，若AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为边CD上一点，过点E作EF⊥BE交AD于点F，点G为CF中点，连接BF，EG，当∠CBD＝90°，且AD＝4时，若EG＝1，求线段CF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36.0分）
1．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x⩾﹣3 B．x＜3 C．x⩾3 D．x⩽﹣3
解：由题意可知：﹣3+x≥0，
∴x≥3，
故选：C．
2．（3分）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、原式＝（）2＝32＝9，错误；
B、原式＝|﹣2|＝2，错误；
C、原式＝|﹣7|＝7，正确；
D、原式＝|x|，错误，
故选：C．
3．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形，该说法正确；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形，该说法正确．
故选：D．
4．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选：D．
5．（3分）下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等且互相平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
解：A、错误．菱形的对角线互相垂直平分．
B、正确．矩形的对角线相等且互相平分．
C、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形．
故选：B．
6．（3分）如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A．仅有一组对边平行的四边形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，
根据四边相等的四边形是菱形可得，剪下的图形是菱形，
故选：B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A坐标是（ ）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
解：∵连接AB交OC于点D
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，
∵点C的坐标是（4，0），点B的纵坐标是﹣1，
∴OC＝4，BD＝AD＝1，
∴OD＝CD＝2，
∴点A的坐标为：（2，1）．
故选：A．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE＝BC＝×2＝1，
∴DE＝．
故选：A．
9．（3分）已知x＜1，那么化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．1﹣x C．﹣x﹣1 D．x+1
解：∵x＜1，
∴x﹣1＜0，
∴＝|x﹣1|＝1﹣x．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（ ）
A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3
解：如图，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠ABE＝∠DEF，
在△BAE与△EDF中，
，
△BAE≌△EDF，
∴DF＝AE＝2，
∴AB＝CD＝DF+CF＝3，
在Rt△BAE中，BE＝＝，
∴BF＝，
∵EG⊥BF，
∴∠EHB＝∠BHG＝90°，BH＝BF＝，
在Rt△BCF中，BC＝＝5，
∵∠HBG＝∠CBF，∠BHG＝∠C＝90°，
∴△BHG∽△BCF，
∴＝，即＝，
解得BG＝＝2.6．
故选：A．
11．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选：C．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（ ）
A．2 B． C． D．：1
解：连接CC′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠C′AE＝∠AEB＝∠AEC′，
∴AC′＝EC′，
∵EC＝EC′，
∴AC′＝EC，
∴四边形AC′CE是平行四边形，
∵AC⊥EC′，
∴四边形AC′CE是菱形，
∴AC′＝AE＝EC′，
∴△AEC′是等边三角形，
∴∠EAC′＝60°，
∴∠ACB＝∠CAC′＝∠EAC′＝30°，
在Rt△ABC中，＝tan60°＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24.0分）
13．（4分）在实数范围内分解因式a2﹣6＝ （a+）（a﹣） ．
解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．
故答案为：（a+）（a﹣）．
14．（4分）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为 14 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，OA＝OC＝4，OB＝OD＝5，
∴△OCD的周长＝5+4+5＝14，
故答案为14．
15．（4分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝66°，则∠AED′的度数为 48° ．
解：∵AD∥BC，∠EFB＝66°，
∴DEF＝66°，
又∵∠DEF＝∠D′EF，
∴∠D′EF＝66°，
∴∠AED′＝180°﹣2×66°＝48°．
故答案为：48°．
16．（4分）如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 5 ．
解：如图所示：AB＝＝5．
故答案为：5．
17．（4分）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 5 ．
解：延长BP与AC相交于D，延长MP与AB相交于E
因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP
所以△ABP≌△APD
于是BP＝PD
又∵M是BC边的中点
故PM∥AC
所以∠2＝∠3
又因为∠1＝∠3
所以∠1＝∠2，EP＝AE＝AB＝×12＝6
AD＝2EP＝2×6＝12
DC＝22﹣12＝10
PM＝DC＝×10＝5
故MP的长为5．
故答案为5．
18．（4分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是 1 ．
解：由折叠得：∠BCE＝∠OCE，
∵ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵AECF是菱形，
∴∠OCE＝∠OCF，
∴∠BCE＝∠OCE＝∠OCF＝∠BCD＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝，
∴BE＝tan30°×BC＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19．（10分）计算：
（1）﹣+
（2）（÷+）×．
解：（1）﹣+
＝2﹣4+2﹣
＝﹣3+2；
（2）（÷+）×
＝（+2）×
＝3×
＝6．
20．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3cm，BC＝13cm，CD＝12cm，AD＝4cm，求四边形ABCD的面积．
解：连接BD，如图所示：
∵∠A＝90°，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BD＝＝5cm，
在△ACD中，BD2+CD2＝25+144＝169＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•AD+BD•CD＝×3×4+×5×12＝36（cm2）．
故四边形ABCD的面积是36cm2．
21．（10分）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS）．
（2）连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
22．（10分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）求BE的长．
解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由折叠可知，∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB．
∴BE＝BF；
（2）在矩形ABCD中，∠A＝90°，
由折叠知BE＝ED，
设AE＝x，那么DE＝BE＝9﹣x，
在Rt△BAE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，即AE＝4，
∴BE＝9﹣4＝5．
23．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AF，
∴BD＝AF，
∵∠BDC＝∠AEC，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵AF∥BD，BD⊥AC
∴AF⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE，
∴△DAE是等腰三角形，
∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，
∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．
24．（12分）已知，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD，AB∥CD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，若AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为边CD上一点，过点E作EF⊥BE交AD于点F，点G为CF中点，连接BF，EG，当∠CBD＝90°，且AD＝4时，若EG＝1，求线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BC＝BD．
（2）证明：如图2中，作BM⊥CD于M，DN⊥AB于N．
∵AB∥CD，
∴∠DBN＝∠BDM，
∵BD＝DB，∠DNB＝∠BMD＝90°，
∴△DNB≌△BMD（AAS），
∴DN＝BM，BN＝DM
∵AD＝BC，∠AND＝∠BMC＝90°，
∴Rt△ADN≌Rt△CBM（HL），
∴AN＝CM，
∴AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（3）解：如图3中，作EK⊥AD交AD的延长线于K，交BC于H，交CF于G′，作FT⊥AD交CD的延长线于T，作CW⊥AD交AD的延长线于W．
∵BD＝BC，∠DBC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵EF⊥EB，
∴∠FEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠FDB＝∠FEB，
∴D，F，B，E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BDC＝45°，
∴∠EFD＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BE，
∵∠FEK+∠EFK＝90°，∠FEK+∠BEH＝90°，
∴∠FEK＝∠BEH，
∵∠FKE＝∠EHB＝90°，
∴△FKE≌△EHB（AAS），
∴FK＝CH，
∵∠FG′K＝∠CG′H，∠FKG′＝∠CHG′，
∴△FKG′≌△CHG′（AAS），
∴FG′＝CG′，
∵FG＝GC，
∴G与G′重合，
∴EG∥FT，∵FG＝HC，
∴TE＝EC，
∴TF＝2EG＝2，
∵∠TDF＝45°，
∴DF＝TF＝2，
∵CW⊥AD，易证四边形BDWC是正方形，
∴CW＝DW＝BD＝AD＝4，
在Rt△CFW中，CF＝＝＝2．
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