2019-2020学年湖北省咸宁市某校初二（下）4月月考数学试卷

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这是一份2019-2020学年湖北省咸宁市某校初二（下）4月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 当x为任意实数时，下列式子中有意义的式子为( )
A.xx+100B.1x2C.x+2D.(x−1)2

2. 下列式子为最简二次根式的是( )
A.a2B.a2+b2C.8aD.12

3. 若−1A.2x+1B.1C.−2x−1D.−2x+1

4. 如图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC，∠ABC=120∘，AB=8，则BC的值为( )

A.3B.4C.5D.6

5. 下列各组数据中，不是勾股数的是( )
A.3，4，5B.7，24，25C.8，15，17D.5，6，9

6. 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为( )

A.7B.8C.9D.10

7. 如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )

A.1B.125C.2D.53

8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30∘；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF=13CD；④AF=AB+CF．其中正确结论的个数为( )

A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

8与最简二次根式3a+1是同类二次根式，则a=________．

若54n是正整数，则满足条件的n的最小正整数值为________.

如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为________cm．

若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x=________．

如图，有一块四边形草地ABCD，∠B=90∘，AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m，则该四边形草地的面积是________.

已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60∘，AB=2，则AE的长为________．

如图，原点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A，B，C，D的坐标分别为4,2，a,b，m,n，−3,2．则(m+n)(a+b)=________.

已知菱形的周长为24，较大的内角为120∘，则菱形的较长的对角线长为________．
三、解答题

计算：
(1)18+98−27 ；

(2)(π−1)0+(−12)−1+|5−27|−23；

(3)(48−146)÷27；

(4)|1−2|+|2−3|+|3−4|+...+|99−100|.

已知x，y是实数，且y=x2−9+9−x2−2x+3，求5x+6y的值．

实数a在数轴上的位置如图，化简|a−2|+a2−8a+16．

已知：9−xx−6=9−xx−6，且x是偶数，求：代数式(x+2)x−2x+2的值．

如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，BC上，且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．

如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

(1)若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD．

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，∠ABC=60∘，AD=4，CD=10，求BD的长．

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF // BC，交BE的延长线于点F，连结CF．

(1)求证：
①△AEF≅△DEB；
②四边形ADCF是平行四边形；

(2)若AB=AC，∠BAC=90∘，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省咸宁市某校初二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、当x=−100时不成立；
B、当x=0时不成立；
C、当x<−2时不成立；
D、x为任意实数，二次根式均有意义；
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
根据最简二次根式的概念对各选项逐一判断即可得．
【解答】
解：A，a2=|a|，不符合题意；
B，a2+b2是最简二次根式，符合题意；
C，8a=22a，不符合题意；
D，12=22，不符合题意.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的性质与化简
【解析】
本题主要考查二次根式的化简问题．
【解答】
解：∵ −1∴ x2−x+12=|x|−|x+1|=−x−(x+1)=−2x−1．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
三角形的中线
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
∵ BD⊥BC，∠ABC=120∘，
∴ ∠DBE=30∘.
∴ ED=12BD.
∵ BD是AC边上的中线，
∴ S△ABD=S△BCD，
即12AB⋅ED=12BC⋅BD，
即8×12BD=BC⋅BD，
解得BC=4.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
勾股数
【解析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意；
C、82+152=172，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意；
D、52+62≠92，不能构成直角三角形，符合题意.
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【解答】
解：∵ 由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴ S3+S2=S1.
∵ S1+S2+S3=16，
∴ 2S1=16，
∴ S1=8.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
矩形的性质
勾股定理
线段垂直平分线的性质
【解析】

【解答】
解：连接CE，如图所示：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90∘，CD=AB=4,AD=BC=6，
∵ OA=OC，EF⊥AC，
∴ AE=CE.
设DE=x则CE=AE=6−x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42=6−x2,
解得：x=53.
即DE=53.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90∘，
∵ E是BC的中点，
∴ BE=CE=12BC=12AB，
假设∠BAE=30∘，
在Rt△ABE中，
AE=2EB,
从而AE=AB，
而题目中AE>AB，
故①不正确；
∵ 四边形ABCD是正方形，设正方形边长为2，
∴ ∠B=∠C=∠D=90∘，BE=CE=12BC=1.
∵ AE⊥EF，
∴ ∠AEF=∠B=90∘.
设CF=x，则DF=2−x，
在Rt△CFE中，根据勾股定理得：EF2=x2+1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE2=4+1=5，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AF2=4+(2−x)2，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2=AF2，
∴ 5+(x2+1)=4+(2−x)2，
解得x=12，
∴ CF=14CD，故③错误；
延长FE交AB的延长线于H，过点E作EG⊥AF于点G，
在△BHE和△CFE中，∠HBE=∠FCE=90∘，BE=CE，∠BEH=∠CEF，
∴ △BHE≅△CFEASA.
∴ BH=CF,EH=EF.
在Rt△AEH和Rt△AEF中，AE=AE，∠AEH=∠AEF=90∘，EH=EF，
∴ Rt△AEH≅Rt△AEFSAS.
∴ AH=AF，
∴ AF=AH=AB+BH=AB+CF，故④正确；
∵ AE⊥HF，又AF=AH，
∴ AE是∠BAF的平分线，
∴ EG=BE=CE.
又EF=EF，
∴ Rt△EGF≅Rt△ECF，
∴ ∠GFE=∠CFE，故②正确.
∴ 正确结论的个数有2个．
故选B．
二、填空题
【答案】
1
【考点】
同类二次根式
最简二次根式
【解析】
先将8化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】
解：∵ 8=22，
∴ a+1=2，
∴ a=1.
故答案为：1.
【答案】
6
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
先把根式化为最简二次根式，即可求出n的最小值.
【解答】
解：54n=36n，
则n=6时，54n是正整数.
故答案为：6.
【答案】
2
【考点】
勾股定理
【解析】
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【解答】
解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2=32+42，
解得：x=5，
所以露在外面最短的长度为7cm−5cm=2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm.
故答案为：2.
【答案】
3或41
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
42+x2=52，
∴ x=3.
若x是斜边，由勾股定理得：
42+52=x2，
∴ x=41.
∴ 第三边的长为3或41．
故答案为：3或41．
【答案】
36m2
【考点】
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
连接AC．根据勾股定理求得AC的长，从而根据勾股定理的逆定理发现直角三角形ACD，就可求得该四边形的面积．
【解答】
解：连接AC．
∵ ∠B=90∘，
∴ AC=AB2+BC2=5．
∵ 52+122=132，
∴ △ADC是直角三角形．
∴ S四边形ABCD=12×3×4+12×12×5=36m2．
故答案为：36m2.
【答案】
3或7
【考点】
矩形的性质
勾股定理
等边三角形的性质
【解析】
由矩形的性质可得OA＝OB，可证，△AOB是等边三角形，可得AO＝AB＝BO＝2，由等边三角形的性质可证AE⊥BO，由勾股定理可求解．
【解答】
解：如图，连接AE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OB，且∠AOB=60∘，
∴ △AOB是等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
若点E在线段BO上时，
∵ OE=1，
∴ BE=EO=1，且△ABO等边三角形，
∴ AE⊥BO，
∴ AE=AO2−OE2=4−1=3，
若点E′在线段OD上时，
∴ AE′=AE2+E′E2=3+4=7.
故答案为：3或7.
【答案】
−6
【考点】
平行四边形的性质
坐标与图形性质
【解析】
由平行四边形的中心对称性质可求出点B和点C的坐标，进而可求出(m+n)(a+b)的值．
【解答】
解：∵ 点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A的坐标为(4, 2)，
∴ 顶点C的坐标为(−4, −2)，
∴ m=−4，n=−2，
∵ 顶点D的坐标为(−3, 2)，
∴ 顶点B的坐标为(3, −2)，
∴ a=3，b=−2，
∴ (m+n)(a+b)=−6×1=−6.
故答案为：−6.
【答案】
63
【考点】
菱形的性质
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示：
∵ 菱形ABCD的周长为24，
∴ AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，
∵ ∠BAD=120∘，
∴ ∠ABC=60∘，
∴ ∠ABO=12∠ABC=30∘.
∴ AO=3，
∴ BO=AB2−AO2=33，
∴ BD=63.
故答案为：63.
三、解答题
【答案】
解：(1)18+98−27
=32+72−33
=102−33；
(2)(π−1)0+(−12)−1+|5−27|−23
=1−2+33−5−23
=−6+3；
(3)(48−146)÷27
=(43−64)÷33
=43−212；
(4)|1−2|+|2−3|+|3−4|+...+|99−100|
=2−1+3−2+4−3+...+100−99
=100−1
=9．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的混合运算
绝对值
【解析】
（1）首先化简二次根式进而合并求出答案；
（2）首先利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案；
（3）首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答案；
（4）直接去绝对值，进而求出答案．
【解答】
解：(1)18+98−27
=32+72−33
=102−33；
(2)(π−1)0+(−12)−1+|5−27|−23
=1−2+33−5−23
=−6+3；
(3)(48−146)÷27
=(43−64)÷33
=43−212；
(4)|1−2|+|2−3|+|3−4|+...+|99−100|
=2−1+3−2+4−3+...+100−99
=100−1
=9．
【答案】
解：由题意得，x2−9≥0，9−x2≥0，x+3≠0，
解得x=3，
所以，y=−23+3=−13，
所以，5x+6y=5×3+6×(−13)=15−2=13．
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，x2−9≥0，9−x2≥0，x+3≠0，
解得x=3，
所以，y=−23+3=−13，
所以，5x+6y=5×3+6×(−13)=15−2=13．
【答案】
解：由数轴可得出：2∴ |a−2|+a2−8a+16
=a−2+(a−4)2
=a−2+4−a=2．
【考点】
二次根式的性质与化简
在数轴上表示实数
绝对值
【解析】
首先利用数轴得出a的取值范围，进而取绝对值以及开平方即可．
【解答】
解：由数轴可得出：2∴ |a−2|+a2−8a+16
=a−2+(a−4)2
=a−2+4−a=2．
【答案】
解：由9−xx−6=9−xx−6，可得：
9−x≥0，x−6>0，
所以，解得：6又因为x是偶数，所以x=8，
所以(x+2)x−2x+2=(8+2)8−28+2=10610=215．
【考点】
二次根式的非负性
【解析】
直接利用二次根式的定义得出x的取值范围，进而得出x的值，进而化简得出答案．
【解答】
解：由9−xx−6=9−xx−6，可得：
9−x≥0，x−6>0，
所以，解得：6又因为x是偶数，所以x=8，
所以(x+2)x−2x+2=(8+2)8−28+2=10610=215．
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，AD=BC，
∵ AE=CF，
∴ AD−AE=BC−CF，
∴ ED=BF，
又∵ AD // BC，
∴ 四边形BFDE是平行四边形．
【考点】
平行四边形的应用
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD // BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，AD=BC，
∵ AE=CF，
∴ AD−AE=BC−CF，
∴ ED=BF，
又∵ AD // BC，
∴ 四边形BFDE是平行四边形．
【答案】
(1)解：∵ AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴ DE=AE=12AB=12×10=5，
DF=AF=12AC=12×8=4，
∴ 四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.
(2)证明：∵ DE=AE，DF=AF，
∴ EF垂直平分AD．
【考点】
直角三角形斜边上的中线
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=12AB，DF=AF=12AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
【解答】
(1)解：∵ AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴ DE=AE=12AB=12×10=5，
DF=AF=12AC=12×8=4，
∴ 四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.
(2)证明：∵ DE=AE，DF=AF，
∴ EF垂直平分AD．
【答案】
解：延长BA、CD交于E，
∵ ∠C=90∘，∠ABC=60∘，
∴ ∠E=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴ DE=2AD=8，
∴ CE=10+8=18，
在Rt△BCE中，∠E=30∘，
∴ BC2+CE2=BE2,BE=2BC,
∴ BC=63，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=BC2+CD2
=(63)2+102=413．
【考点】
三角形内角和定理
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
延长BA、CD交于E，求出∠E，求出DE、CE长，在Rt△CBE中，求出BC，在Rt△CBD中，根据勾股定理求出BD即可．
【解答】
解：延长BA、CD交于E，
∵ ∠C=90∘，∠ABC=60∘，
∴ ∠E=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴ DE=2AD=8，
∴ CE=10+8=18，
在Rt△BCE中，∠E=30∘，
∴ BC2+CE2=BE2,BE=2BC,
∴ BC=63，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=BC2+CD2
=(63)2+102=413．
【答案】
(1)证明：①∵ AF // BC，
∴ ∠AFE=∠DBE，
∵ E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴ AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，
∴ △AEF≅△DEB(AAS).
②由①知，△AEF≅△DEB，则AF=DB．
∵ DB=DC，
∴ AF=CD．
∵ AF // BC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
(2)解：四边形ADCF是正方形．理由如下：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，AD=12BC=DC，
∴ 平行四边形ADCF是正方形．
【考点】
正方形的判定
直角三角形斜边上的中线
平行四边形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）①根据AAS证△AFE≅△DBE；
②利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据正方形的判定推出即可．
【解答】
(1)证明：①∵ AF // BC，
∴ ∠AFE=∠DBE，
∵ E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴ AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，
∴ △AEF≅△DEB(AAS).
②由①知，△AEF≅△DEB，则AF=DB．
∵ DB=DC，
∴ AF=CD．
∵ AF // BC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
(2)解：四边形ADCF是正方形．理由如下：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的中线，
∴ AD⊥BC，AD=12BC=DC，
∴ 平行四边形ADCF是正方形．

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