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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第二章第3节函数的奇偶性与周期性
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第3节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
答案 B
3.(教材必修4P26T2改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.
解析 由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
答案 1
4.(2020·济南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.－ B. C. D.－
解析 由题意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，解得a＝，则a＋b＝.
答案 B
5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A.e－x－1 B.e－x＋1
C.－e－x－1 D.－e－x＋1
解析 由题意知，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1.
答案 D
6.(2020·苏、锡、常、镇调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－2 017)＋f(2 018)＝f(－2 016－1)＋f(0)＝f(－1)＋f(0)＝f(1)＋f(0)＝e－1.
答案 e－1
考点一 函数的奇偶性及其应用 多维探究
角度1 函数奇偶性的判断
【例1－1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝log2(x＋).
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2(－x＋)＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
【例1－2】 (1)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为( )
A.2 B.1 C.6 D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
解析 (1)因为f(x)＝＝3－，
所以f(x)－3＝－，∴f(t＋1)－3＝－，t∈[－4，4].
又f(t＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也就是p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6.
(2)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
答案 (1)C (2)－7
规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)＝＋b(a>0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性( )
A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关
(2)(角度2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________ .
解析 (1)f(－x)＝＋b＝＋b≠f(x)，
所以f(x)一定不是偶函数；
设f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知f(－x)＋f(x)＝0.
即＋b＋＋b＝＋2b＝－2＋2b＝0，解得b＝1，
即当b＝1时，f(x)为奇函数，
当b≠1时，f(x)为非奇非偶函数，
所以f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关.
(2)由于f(－x)＝f(x)，
即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，
解得a＝－.
答案 (1)D (2)－
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f＝( )
A. B. C.1 D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈(1，4]时，f(x)＝3x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
解析 (1)因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.
所以f＝f＝f＝f，
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝1.
(2)由题意，得f(1)＝f(4)＝11，f(2)＝5，f(3)＝8.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＝24，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝33×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(33×3＋1)＝803.
答案 (1)C (2)803
规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.
2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
【训练2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
解析 (1)由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4).又f(2)＝2－，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 (1)－2－ (2)7
考点三 函数性质的综合运用 多维探究
角度1 函数的单调性与奇偶性
【例3－1】 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
解析 (1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
(2)由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，
＋∞)上单调递增.
由f(|x|)>f(|2x－1|，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
答案 (1)C (2)
规律方法 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如x1x2)求解.
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3－2】 (1)(多选题)(2020·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A.f(2 019)＝f(2 017) B.f(2 019)＝f(2 016)
C.f(2 016)＜f(2 019) D.f(2 016)＞f(2 018)
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A.(－1，4) B.(－2，0)
C.(－1，0) D.(－1，2)
解析 (1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以定义在R上的奇函数f(x)是以8为周期的函数，则f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在[0，2]上是增函数，所以f(2)＞f(1)＞f(0)＝0，即f(2 019)＝f(2 017)，f(2 016)＜f(2 019)，故选AC.
(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.
∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.
从而<1，解得－1
规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【训练3】 (1)(角度1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C.(e2，＋∞) D.(e－2，e2)
(2)(角度2)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.
解析 (1)根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
答案 (1)D (2)2
赢得高分 高考中函数性质“瓶颈题”突破
函数的单调性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位，不仅单独考查，且常融合渗透于一体，考查性质的综合应用，如2019·全国Ⅰ卷·T11，2019·全国Ⅲ卷·T11，2018·全国Ⅱ卷·T11，2017·全国Ⅲ卷·T15等，着重考查利用函数性质求值、比较大小、求解参数或解不等式.
【典例】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
解析 法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案 C
思维升华 1.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
2.对于选择题、填空题，还常借助特殊性(如法二)，或函数图象的几何直观进行优化求解.
【训练】 (2020·如东高收中学期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋x＋b，则|f(x)|>3的解集为( )
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C.(－2，2) D.(－4，4)
解析 由题意，f(0)＝log22＋b＝0，解得b＝－1.
所以f(x)＝log2(x＋2)＋x－1，f(2)＝3，且在R上单调递增，又|f(x)|>3，所以|f(x)|>f(2)，即f(x)>f(2)或f(x)2或x<－2.
答案 A
数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
类型1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
且f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
类型2 抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＝－(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(4)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
答案 C
类型3 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【例3】 已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[－3，1] B.(－∞，－3)∪[1，＋∞)
C.[－4，2] D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
解析 由于f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称.
由f(x)在[1，＋∞)上递减，知f(x)在(－∞，1]上递增.
又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，
①当m＋2≤1，即m≤－1时，f(m＋2)≥f(x－1)对x∈[－1，0]恒成立，
则有m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，∴－3≤m≤－1，
②当m＋2>1，即m>－1时，f(m＋2)≥f(x－1)＝f(3－x)，
则有m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，则－1
答案 A
【例4】 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2)
＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
答案 4
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )
A.y＝|log3x| B.y＝x3
C.y＝e|x| D.y＝cos |x|
解析 对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.
对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，
对于D选项，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.
答案 C
2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A.－1 B.1 C.0 D.±1
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意).
答案 A
3.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
解析 由题意，得f(2)＝f(0)＝0.
又f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(2)＝－2.
答案 A
4.(多选题)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6)
C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).
又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).
答案 BCD
5.定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是( )
A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0
解析 当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0.
又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.
由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f的值为________.
解析 由已知可得f＝ln ＝－2，
所以f＝f(－2).又f(x)是奇函数，
所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.
答案 －ln 2
7.(多填题)奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＝________，f(－3)＝________.
解析 由于f(x)在[3，6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1.
答案 8 1
8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________.
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f，
由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以1
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f＝－f成立.
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值.
解 (1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f
＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
B级 能力提升
11.(2020·徐州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－cos x，则下列结论正确的是( )
A.f
∴f(x＋4)＝f(x)，则f(x)的周期为4.
因此f(2 018)＝f(2)＝f(0)，f＝f，
f＝f＝f＝f，
又x∈[0，1]时，f(x)＝2x－cos x单调递增，
∴f(0)
12.(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是以2为周期的周期函数
B.函数f(x)是以4为周期的周期函数
C.函数f(x－1)为奇函数
D.函数f(x－3)为偶函数
解析 偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，
即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，
即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋1)＝－f(x－1).
又f(－x－1)＝f(x＋1)，则f(－x－1)＝－f(x－1)，
故f(x－1)为奇函数，C正确；
由f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，即有f(－x－3)＝f(x－3)，得f(x＋3)＝f(x－3)，
∴f(x＋6)＝f(x).
得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期相矛盾，则D错误.故选BC.
答案 BC
13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，
则函数f(x)的周期是4，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1).
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1).
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.
答案 1
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
C级 创新猜想
15.(多选题)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是( )
A.f(x)＝sin x B.f(x)＝3x－
C.f(x)＝x3－3x D.f(x)＝x|x|
解析 根据题意，对于任意的不相等实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，为奇函数但在R上不是增函数，不符合题意；对于B，f(－x)＝3－x－3x＝
－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意.故选BD.
答案 BD
16.(开放题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
答案 ①②
第3节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
答案 B
3.(教材必修4P26T2改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.
解析 由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
答案 1
4.(2020·济南一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.－ B. C. D.－
解析 由题意，得b＝0，且2a＝－(a－1)，解得a＝，则a＋b＝.
答案 B
5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A.e－x－1 B.e－x＋1
C.－e－x－1 D.－e－x＋1
解析 由题意知，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1.
答案 D
6.(2020·苏、锡、常、镇调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－2 017)＋f(2 018)＝f(－2 016－1)＋f(0)＝f(－1)＋f(0)＝f(1)＋f(0)＝e－1.
答案 e－1
考点一 函数的奇偶性及其应用 多维探究
角度1 函数奇偶性的判断
【例1－1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝log2(x＋).
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2(－x＋)＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
【例1－2】 (1)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为( )
A.2 B.1 C.6 D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
解析 (1)因为f(x)＝＝3－，
所以f(x)－3＝－，∴f(t＋1)－3＝－，t∈[－4，4].
又f(t＋1)－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也就是p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6.
(2)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
答案 (1)C (2)－7
规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值.
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)＝＋b(a>0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性( )
A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关
(2)(角度2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________ .
解析 (1)f(－x)＝＋b＝＋b≠f(x)，
所以f(x)一定不是偶函数；
设f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知f(－x)＋f(x)＝0.
即＋b＋＋b＝＋2b＝－2＋2b＝0，解得b＝1，
即当b＝1时，f(x)为奇函数，
当b≠1时，f(x)为非奇非偶函数，
所以f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关.
(2)由于f(－x)＝f(x)，
即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，
解得a＝－.
答案 (1)D (2)－
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f＝( )
A. B. C.1 D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈(1，4]时，f(x)＝3x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
解析 (1)因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.
所以f＝f＝f＝f，
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝1.
(2)由题意，得f(1)＝f(4)＝11，f(2)＝5，f(3)＝8.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＝24，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝33×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(33×3＋1)＝803.
答案 (1)C (2)803
规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.
2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
【训练2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
解析 (1)由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4).又f(2)＝2－，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案 (1)－2－ (2)7
考点三 函数性质的综合运用 多维探究
角度1 函数的单调性与奇偶性
【例3－1】 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
解析 (1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
(2)由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，
＋∞)上单调递增.
由f(|x|)>f(|2x－1|，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，
解得
答案 (1)C (2)
规律方法 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如x1
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3－2】 (1)(多选题)(2020·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A.f(2 019)＝f(2 017) B.f(2 019)＝f(2 016)
C.f(2 016)＜f(2 019) D.f(2 016)＞f(2 018)
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A.(－1，4) B.(－2，0)
C.(－1，0) D.(－1，2)
解析 (1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以定义在R上的奇函数f(x)是以8为周期的函数，则f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在[0，2]上是增函数，所以f(2)＞f(1)＞f(0)＝0，即f(2 019)＝f(2 017)，f(2 016)＜f(2 019)，故选AC.
(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.
∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.
从而<1，解得－1
规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【训练3】 (1)(角度1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)
C.(e2，＋∞) D.(e－2，e2)
(2)(角度2)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.
解析 (1)根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)
又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
答案 (1)D (2)2
赢得高分 高考中函数性质“瓶颈题”突破
函数的单调性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位，不仅单独考查，且常融合渗透于一体，考查性质的综合应用，如2019·全国Ⅰ卷·T11，2019·全国Ⅲ卷·T11，2018·全国Ⅱ卷·T11，2017·全国Ⅲ卷·T15等，着重考查利用函数性质求值、比较大小、求解参数或解不等式.
【典例】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
解析 法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案 C
思维升华 1.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
2.对于选择题、填空题，还常借助特殊性(如法二)，或函数图象的几何直观进行优化求解.
【训练】 (2020·如东高收中学期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋x＋b，则|f(x)|>3的解集为( )
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C.(－2，2) D.(－4，4)
解析 由题意，f(0)＝log22＋b＝0，解得b＝－1.
所以f(x)＝log2(x＋2)＋x－1，f(2)＝3，且在R上单调递增，又|f(x)|>3，所以|f(x)|>f(2)，即f(x)>f(2)或f(x)
答案 A
数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
类型1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
且f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
类型2 抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＝－(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(4)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
答案 C
类型3 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【例3】 已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[－3，1] B.(－∞，－3)∪[1，＋∞)
C.[－4，2] D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
解析 由于f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称.
由f(x)在[1，＋∞)上递减，知f(x)在(－∞，1]上递增.
又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，
①当m＋2≤1，即m≤－1时，f(m＋2)≥f(x－1)对x∈[－1，0]恒成立，
则有m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，∴－3≤m≤－1，
②当m＋2>1，即m>－1时，f(m＋2)≥f(x－1)＝f(3－x)，
则有m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，则－1
答案 A
【例4】 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2)
＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
答案 4
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )
A.y＝|log3x| B.y＝x3
C.y＝e|x| D.y＝cos |x|
解析 对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.
对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，
对于D选项，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.
答案 C
2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A.－1 B.1 C.0 D.±1
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意).
答案 A
3.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
解析 由题意，得f(2)＝f(0)＝0.
又f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(2)＝－2.
答案 A
4.(多选题)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6)
C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).
又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).
答案 BCD
5.定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是( )
A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0
解析 当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0.
又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.
由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f的值为________.
解析 由已知可得f＝ln ＝－2，
所以f＝f(－2).又f(x)是奇函数，
所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2.
答案 －ln 2
7.(多填题)奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＝________，f(－3)＝________.
解析 由于f(x)在[3，6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1.
答案 8 1
8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________.
解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f，
由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以1
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f＝－f成立.
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值.
解 (1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f
＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.
B级 能力提升
11.(2020·徐州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－cos x，则下列结论正确的是( )
A.f
∴f(x＋4)＝f(x)，则f(x)的周期为4.
因此f(2 018)＝f(2)＝f(0)，f＝f，
f＝f＝f＝f，
又x∈[0，1]时，f(x)＝2x－cos x单调递增，
∴f(0)
12.(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是以2为周期的周期函数
B.函数f(x)是以4为周期的周期函数
C.函数f(x－1)为奇函数
D.函数f(x－3)为偶函数
解析 偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，
即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，
即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋1)＝－f(x－1).
又f(－x－1)＝f(x＋1)，则f(－x－1)＝－f(x－1)，
故f(x－1)为奇函数，C正确；
由f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，即有f(－x－3)＝f(x－3)，得f(x＋3)＝f(x－3)，
∴f(x＋6)＝f(x).
得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期相矛盾，则D错误.故选BC.
答案 BC
13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，
则函数f(x)的周期是4，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1).
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1).
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.
答案 1
14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
C级 创新猜想
15.(多选题)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是( )
A.f(x)＝sin x B.f(x)＝3x－
C.f(x)＝x3－3x D.f(x)＝x|x|
解析 根据题意，对于任意的不相等实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，为奇函数但在R上不是增函数，不符合题意；对于B，f(－x)＝3－x－3x＝
－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意.故选BD.
答案 BD
16.(开放题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
答案 ①②
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