2021版人教版高三物理一轮复习基础梳理：第四章　课时4　万有引力与航天 学案

课时4　万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律

第一定律:(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。如图甲所示。

第二定律:(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。如图乙所示。

第三定律:(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即=k。这里a是行星公转轨道半长轴,T是行星公转周期,k是常数,其大小只与中心天体的质量有关。如图丙所示。

二、万有引力定律

1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比。

2.公式:F=G,其中G=6.67×10-11 N·m2/kg2。

3.适用条件:严格地说,公式只适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离。

4.万有引力定律的发现和相关物理学史

(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。

(2)牛顿总结了前人的科研成果,在此基础上,经过研究得出了万有引力定律。

(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量(被称为能称量地球质量的第一人)。

三、宇宙速度

1.第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。

推导过程为:由mg==,得v== =7.9 km/s。

(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,也是人造地球卫星的最小发射速度。

2.第二宇宙速度(脱离速度):v2=11.2 km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

3.第三宇宙速度(逃逸速度):v3=16.7 km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

四、经典力学的适用范围

只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。

考点一　开普勒行星运动定律

1.开普勒定律不仅适用于行星绕太阳转动,也适用于其他星体,如卫星绕地球转动。

2.通过第二定律可知,行星在近日点的速度大于在远日点的速度。

3. =k中的k由中心天体决定,是一个与行星无关的常量,但不同的中心天体k一般不同。

4.行星的运动轨迹一般是椭圆,为了分析方便,近似看做是圆,则=k中的半长轴a即为圆半径。

[典例1] 关于太阳系中各行星的轨道,以下说法中正确的是(　　)

A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆

B.有的行星绕太阳运动的轨道是圆

C.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的

D.不同的行星绕太阳运动的轨道都相同

解析:所有行星的轨道都是椭圆,A正确,B错误;不同行星离太阳远近不同,轨道不同,半长轴也就不同,C,D错误。

答案:A

变式1:已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆),如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是(　B　)

A. B. C. D.

解析:根据开普勒第三定律有==k,天体公转的角速度ω=,一定时间内扫过的面积S==,所以扫过的面积速率之比等于单位时间内的面积比,代入角速度可得扫过的面积速率之比为。

考点二　万有引力定律

1.万有引力的方向沿两物体的连线方向。

2.对质量均匀的球体或球壳,在研究与球外物体的引力时,可视为质量集中在球心的质点而应用公式。

3.当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时,公式也适用,两个不规则又相互靠近的物体间的万有引力不能直接用公式运算。

[典例2] 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证(　　)

A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的

B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的

C.在月球表面自由落体的加速度约为地球表面的

D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的

解析:设月球质量为M月,地球质量为M,苹果质量为m,则月球受到的万有引力为

F月=G,苹果受到的万有引力为F=G,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二者之间万有引力的关系无法确定,故选项A错误;根据牛顿第二定律有G=M月a月,G=ma,整理可以得到a月=a,故选项B正确;在月球表面处: G=m′g月,由于月球本身的半径大小未知,故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系,故选项C错误;苹果在月球表面受到的引力为F′=G,由于月球本身的半径大小未知,故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故选项D错误。

答案:B

变式2:行星绕太阳的运动可看做匀速圆周运动,则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量,即k=,其中的常量k(　D　)

A.与行星的质量有关

B.与行星绕太阳运动的轨道半径R有关

C.与行星绕太阳运动的周期T有关

D.只由太阳的质量决定

解析:由G=m()2R,可得=,所以k=,k值只和被围绕星球的质量有关,所以只有选项D正确。

考点三　万有引力的应用

1.万有引力与重力

(1)不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为mg=G,从而得出GM=gR2(通常称为“黄金代换式”),其中M为该天体的质量,R为该天体的半径,g为相应天体表面的重力加速度。常运用GM=gR2作为桥梁,可以把“地上”和“天上”联系起来。

(2)考虑自转时,星体表面赤道上的加速度g满足:G-mg=mω2R,得g=-ω2R。特别是当g=0时,ω=,这就是星体不解体的最大角速度。

(3)物体在距星体表面高度为h处的重力加速度g′满足:

mg′=G,即g′==g。

[典例3] 据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍。不考虑自转效应,该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍,由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为(　　)

A.0.5 B.2.0 C.3.2 D.4.0

解析:在地球表面有mg=G

在行星表面mg′=

由题意知=1.6

=6.4

联立解得=2.0,故B正确。

答案:B

变式3:离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的,则离地高度h是地球半径的(　D　)

A.2倍 B. 

C.倍 D.(-1)倍 

解析:地球上物体的重力加速度由万有引力提供,即离地面高度h处的重力加速度由下式决定,G=,则有=,即得h=(-1)R。

2.中心天体质量和密度的求解

(1)当天体绕着某中心天体做圆周运动时,中心天体对该天体的万有引力就是其做圆周运动所需的向心力,据此即可列出方程G==mrω2=mr,

则中心天体的质量为M===;

中心天体的密度ρ=====。

(2)若卫星在天体表面附近运行时,可认为r=R,则天体密度ρ==。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的角速度或周期T,就可估测出中心天体的

密度。

一般运动中的天体的周期、轨道半径r较容易测量,例如月球的周期已知为

27.3天,并知道地月距离就能根据M=计算出地球的质量。

[典例4] 下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)(　　)

A.已知地球绕太阳运动的周期和地球中心离太阳中心的距离

B.已知月球绕地球运动的周期和地球的半径

C.已知月球绕地球运动的角速度和地球的半径

D.已知月球绕地球运动的周期和轨道半径

解析:已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径,只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量,所以选项A错误;已知月球绕地球运动的周期(或角速度)和地球的半径,而不知道月球绕地球运动的轨道半径,不能求出地球的质量,选项B,C错误;由G=mr,可求得地球质量为M=,所以选项D正确。

答案:D

变式4:近年来,人类发射了多枚火星探测器,对火星进行科学探究,为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近火”匀速圆周运动,并测得该探测器运动的周期为T,则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)(　D　)

A.ρ= B.ρ=kT

C.ρ=kT2 D.ρ=

解析:由万有引力定律知G=m()2r,

解得M=,

联立M=ρ·πR3和r=R,解得ρ=,选项D正确。

考点四　行星或卫星的运动参数比较

1.行星或卫星的动力学规律

由万有引力提供向心力G=ma向=m=mω2r=m。

2.行星或卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

3.几种常见卫星

(1)近地卫星

近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径,其运行线速度v==,约为7.9 km/s,其运行周期T=,约为85 min。

(2)极地卫星

极地卫星运行时每圈都经过南北两极,轨道平面通过地心。由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。

(3)同步卫星

①轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合。

②周期一定:与地球自转周期相同,即T=24 h=86 400 s。

③角速度一定:与地球自转的角速度相同。

④高度一定:据G=mr得r==4.24×104 km,卫星离地面高度h=r-R≈6R(为恒量)。

⑤速率一定:运动速度v==3.08 km/s(为恒量)。

⑥绕行方向一定:与地球自转的方向一致。

[典例5] 如图,若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动,a,b到地心O的距离分别为r1,r2,线速度大小分别为v1,v2,则(　　)

A.= B.=

C.=()2 D.=()2

解析:万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,有G=m,所以v=,=,A项正确。

答案:A

变式5:我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的是(　A　)

A.周期 B.角速度

C.线速度 D.向心加速度

解析:“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径,即r五<r四,由万有引力提供向心力得

=mr=mrω2=m=ma,

则T=∝,T五<T四,

选项A正确;

ω=∝,ω五>ω四,

选项B错误;

v=∝,v五>v四,选项C错误;

a=∝,a五>a四,选项D错误。

考点五　宇宙速度

1.第一宇宙速度(环绕速度):v=7.9 km/s(地球卫星的最大运行速度,也是人造地球卫星所需的最小发射速度)。

2.第二宇宙速度(逃逸速度):v=11.2 km/s(卫星挣脱地球束缚所需的最小发射

速度)。

3.第三宇宙速度:v=16.7 km/s(卫星挣脱太阳束缚所需的最小发射速度)。

[典例6] 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s,某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,这颗行星的第一宇宙速度约为(　　)

A.16 km/s B.32 km/s

C.4 km/s   D.2 km/s

解析:第一宇宙速度v=,该星球表面的第一宇宙速度与地球表面的第一宇宙速度之比===2,v1=2v2=2×8 km/s=16 km/s,故选项A正确。

答案:A

变式6:天文学家近日在银河系发现一颗全新的星球——“超级地球”。它的半径是地球的2.3倍,而质量却是地球的17倍,科学家们认为这颗星球可能是由岩石组成的。它的发现将有助于探索地球之外是否存在生命。这颗“超级地球”的第一宇宙速度约为(　C　)

A.3 km/s B.15 km/s C.21 km/s D.28 km/s

解析:在地球上第一宇宙速度是近地卫星的运行速度,根据万有引力提供圆周运动向心力有G=m可得地球的第一宇宙速度v==7.9 km/s。据此关系知,超级地球的第一宇宙速度v′==≈2.72×7.9 km/s≈21.5 km/s,故C正确,A,B,D错误。

考点六　经典力学的局限性

经典力学适用于低速、宏观、弱引力,不适用于高速、微观、强引力。

[典例7] 继哥白尼提出“太阳中心说”,开普勒提出行星运动三定律后,牛顿站在巨人的肩膀上,创立了经典力学,揭示了包括行星在内的宏观物体的运动规律。爱因斯坦既批判了牛顿力学的不足,又进一步发展了牛顿的经典力学,创立了相对论。这说明(　　)

A.世界无限大,人不可能认识世界,只能认识世界的一部分

B.人的意识具有能动性,但不能够正确地反映客观世界

C.人对世界的每一个正确认识都有局限性,需要发展和深化

D.每一个认识都可能被后人推翻,人不可能获得正确的认识

解析:发展总是来自于认识过程,观点总是为解释发现而提出的。主动认识世界,积极思考问题,追求解决问题,这是科学研究的基本轨迹。任何一个人对客观世界的认识都受当时的客观条件和科学水平的制约,所以形成的“正确理论”都有一定的局限性,爱因斯坦的相对论是对牛顿力学的发展和深化,但也有人正在向爱因斯坦理论提出挑战。

答案:C

1.(万有引力定律的应用)到了1821年,人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的差异,当时人们提出了以下猜想,之后被证明符合事实的是(　C　)

A.可能是天文观测的数据还不够准确

B.可能是天王星内侧的土星和木星对它的吸引而产生的

C.可能是天王星外侧的一颗未知行星对它的吸引而产生的

D.可能是天王星的一颗质量很大的卫星对它的吸引造成的

解析:天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的差异,是因为天王星外侧的海王星(当时未知)对它的吸引而产生的。

2.(中心天体质量的计算)引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,太阳光传到地球约需8分钟,估算太阳与地球质量之和的数量级为(　C　)

A.1024 kg B.1027 kg 

C.1030 kg D.1035 kg

解析:地球绕太阳公转时,由万有引力提供向心力,即G=m()2r,得M=,其中r=ct(c为光速3.0×108 m/s),T=365×24×3 600 s,代入数据计算可得太阳质量的数量级为1030 kg;又地球的质量远小于太阳质量,可忽略,故选项C正确。

3.(行星或卫星的运动参数)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的(　A　)

A.周期为 B.动能为

C.角速度为 D.向心加速度为

解析:探测器绕月球运动由万有引力提供向心力,对探测器,由牛顿第二定律得,G=m()2r,解得周期T=,故A正确;由G=m知,动能Ek=mv2=,故B错误;由G=mrω2得,角速度ω=,故C错误;由G=ma得,向心加速度a=,故D错误。

4.(万有引力与重力)火星的质量和半径分别约为地球的和,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速度约为(　B　)

A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g

解析:星球表面物体所受重力等于万有引力,G=mg, g=,故=×=0.4,故选项B正确。

5.(宇宙速度)2013年6月11日17时38分,“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时,它的线速度大小(　C　)

A.等于7.9 km/s

B.介于7.9 km/s和11.2 km/s之间

C.小于7.9 km/s

D.介于7.9 km/s和16.7 km/s之间

解析:卫星在圆形轨道上运动的速度v=。由于r>R,所以v<7.9 km/s,C正确。

6.(经典力学的局限性)经典力学规律有其局限性。物体以下列哪个速度运动时,经典力学规律不适用(　D　)

A.2.5×10-5 m/s B.2.5×102 m/s

C.2.5×103 m/s D.2.5×108 m/s

解析:经典力学规律不适用于高速(与光速接近)的环境。光速为3×108 m/s,所以不适合用于D选项的运动。

1.(2018·浙江11月选考,12)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv,和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R,引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是(　D　)

A., B. ,

C., D.,

解析:根据牛顿第二定律,有F=ma,又a=,解得m=;飞船做圆周运动的周期T=,半径为R=,根据万有引力提供向心力,有G=m,解得M==,故D正确。

2.(2018·浙江4月选考,9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则土星的质量约为(　B　)

A.5×1017kg B.5×1026kg

C.7×1033kg D.4×1036kg

解析:根据万有引力提供向心力可得G=mr,解得M=,代入数据得B正确。

3.(2020·浙江1月选考,9)如图所示,卫星a,b,c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星,在地球两极上空约1 000 km 处运行;b是低轨道卫星,距地球表面高度与a相等;c是地球同步卫星,则(　C　)

A.a,b的周期比c大    B.a,b的向心力一定相等

C.a,b的速度大小相等 D.a,b的向心加速度比c小

解析:根据万有引力提供向心力,有=m=mω2r==ma,可知v=,ω=,T=2π,a=,由此可知,半径越大,线速度、角速度、向心加速度越小,周期越大,因为a,b卫星的轨道半径相等,且小于c卫星的轨道半径,因此a,b卫星的线速度相等,向心加速度比c要大,周期要小于卫星c的周期,因此选项C正确,A,D错误;由于不知道a,b两颗卫星的质量关系,无法判断它们向心力的关系,选项B错误。

4.(2017·浙江11月选考,7)如图所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图,则卫星(　D　)

A.在a轨道运行的周期为24 h

B.在b轨道运行的速度始终不变

C.在c轨道运行的速度大小始终不变

D.在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的

解析:同步卫星必须在赤道正上空,所以a轨道不可能是同步轨道,选项A错误;b轨道上的卫星的速度方向不断变化,选项B错误;地球在c轨道的其中一个焦点上,卫星在近地点时的速度大,在远地点时的速度小,选项C错误;在c轨道上,卫星离地球的距离变化,根据F=G可以看出地球的引力大小不断变化,D正确。

5.(2016·浙江10月选考,12)如图所示,“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地球质量M=6.0×1024kg,地球半径R=6.4×103 km。由以上数据可估算(　B　)

A.“天宫二号”质量 B.“天宫二号”运行速度

C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力

解析:由=,则v=,可估算“天宫二号”的运行速度,选项B正确,A错误;由于不知“天宫二号”的质量,选项C,D错误。

6.(2019·浙江4月选考,7)某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)。则此卫星的(　C　)

A.线速度大于第一宇宙速度

B.周期小于同步卫星的周期

C.角速度大于月球绕地球运行的角速度

D.向心加速度大于地面的重力加速度

解析:根据万有引力提供向心力G=m,得v=,半径越大,线速度越小,此卫星轨道半径大于地球半径,线速度小于第一宇宙速度,A错误;该卫星相对于地面静止,周期应等于同步卫星的周期,B错误;ω=,该卫星周期为24 h,小于月球绕地球转动周期约29天,所以该卫星角速度大,C正确;根据G=man,得an=G,此卫星的轨道半径大于地球半径,所以向心加速度小于地面的重力加速度,D错误。

7.(2017·浙江4月选考,11)如图所示,设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动,金星自身的半径是火星的n倍,质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响,则(　B　)

A.金星表面的重力加速度是火星的倍

B.金星的“第一宇宙速度”是火星的倍

C.金星绕太阳运动的加速度比火星小

D.金星绕太阳运动的周期比火星大

解析:质量为m的物体在行星表面有mg=G,即g=可知=,选项A错误;根据“第一宇宙速度”的表达式v=可知,=,选项B正确;行星绕太阳运动时,万有引力充当向心力,则有G=m行an,即an=,而r金<r火,则an金>an火,选项C错误;根据开普勒第三定律=k,可知T金<T火,选项D错误。