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2022届高考物理一轮复习4.4万有引力与航天学案新人教版
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这是一份2022届高考物理一轮复习4.4万有引力与航天学案新人教版，共16页。
知识点一 开普勒三定律的内容、公式
知识点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________，与它们之间距离r的二次方成________．
2．表达式
F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是________的距离．
知识点三 宇宙速度
1．三个宇宙速度
2.第一宇宙速度的理解：人造卫星的________环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．
3．第一宇宙速度的计算方法
(1)由GMmR2＝mv2R得v＝________.(2)由mg＝mv2R得v＝________.
知识点四 经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随________而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．
(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是________的．,
思考辨析
(1)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大．( )
(2)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．( )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )
(4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )
(5)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )
(6)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )
(7)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )
(8)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )
教材改编
[人教版必修2P48T3改编]火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A. 55v B. 5v C. 2v D. 22v
考点一 开普勒三定律的理解与应用自主演练
1．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
2．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
[多维练透]
1．[2017·全国卷Ⅱ，19](多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于T04
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
2. (多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )
A．T卫T月
C．T卫3．[2021·湖南长沙市联考]卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O点为地心，A点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B离地面高度为6R(R为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析正确的是( )
A．控制卫星从图中近地轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速
B．卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的6倍
C．卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的6倍
D．卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点
考点二 万有引力定律的理解及应用
师生共研
题型1|万有引力的计算
例1 [2020·全国卷Ⅰ，15]火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
题型2|星体表面的重力加速度
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：GMmR2＝mg2.
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝GmMR2，得g＝GMR2，即GM＝gR2.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
mg′＝GMm(R+h)2，得g′＝GM(R+h)2，所以g′＝R2(R+h)2g
例2 [2020·新高考Ⅰ卷，7]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0))) C．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
题型|天体质量和密度的计算
例3 如图所示，“嫦娥五号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分．探测器自动完成月面样品采集，并在2020年12月17日凌晨安全着陆回家．若已知月球半径为R，“嫦娥五号”在距月球表面为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．月球的质量为4π2R3GT2
B．月球表面的重力加速度为32π2RT2
C．月球的密度为3πGT2
D．月球第一宇宙速度为4πRT
练1 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍( )
A．2 B．3 C．3.5 D．4
练2 [2020·青岛二模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地．若已知引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T
练3 (多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝gR2G B．太阳的质量m太＝4π2L23GT22
C．月球的质量m月＝4π2L13GT12 D．太阳的平均密度ρ＝3πGT22
题后反思
计算天体质量和密度的方法
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.
②天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.
③GM＝gR2称为黄金代换公式．
(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
①由GMmr2＝m4π2T2r得天体的质量M＝4π2r3GT2.
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.
考点三 卫星运行规律及特点
多维探究
题型1宇宙速度
例4 [2020·北京卷，5]我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
题型2卫星运行参量的比较
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供其所需向心力，由GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝ma可推导出：
例5 (多选)2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．若其导航系统中部分卫星的运动轨道如图所示．b为地球同步卫星；c为倾斜圆轨道卫星，其轨道平面与赤道平面有一定的夹角，周期与地球自转周期相同．d为地球的低轨道极地卫星，下列说法正确的是( )
A．卫星b和卫星c的运行半径相等
B．卫星d的角速度一定比卫星c的角速度小
C．卫星b的向心加速度比卫星d的向心加速度小
D．卫星d的动能一定比卫星b的动能大
题型3|近地卫星、同步卫星问题
1．近地卫星eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(轨道半径r＝R地球半径,向心加速度a＝g重力加速度,环绕速度v＝7.9 km/s,周期T≈84 min))
2．地球同步卫星的五个“一定”
例6 [2020·天津卷，2]北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大 B．线速度大
C．角速度大 D．加速度大
练4 [2020·黑龙江哈尔滨三中二模]2020年3月9日19时55分，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，该卫星被科研人员称为“吉星”，是北斗三号卫星导航系统第二颗地球同步轨道卫星，下列对于“吉星”的说法正确的是( )
A．“吉星”运行过程中周期保持不变
B．“吉星”运行过程中线速度保持不变
C．“吉星”运行过程中向心加速度保持不变
D．“吉星”可能静止在地球上空的任意位置
练5 [2021·湖北八校联考]
2019年11月5日01时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第49颗北斗导航卫星，标志着北斗三号系统3颗倾斜地球同步轨道卫星全部发射完毕．如图所示，倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，运行周期等于地球的自转周期．倾斜地球同步轨道卫星正常运
行，则下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道的地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于地球的第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
练6 [2020·浙江卷，7]
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2：3
B．线速度大小之比为3：2
C．角速度大小之比为22：33
D．向心加速度大小之比为9：4
思维拓展
双星、多星模型
模型1双星模型及规律
Gm1m2L2＝m1ω2r1，
Gm1m2L2＝m2ω2r2，r1＋r2＝L.
例1 [2021·河南八市重点高中模拟]某双星系统中，A星球质量是B星球质量的2倍，两者之间的距离为l.经观测发现A星球上的物质在缓慢地向外太空逃逸，若干年后A星球的质量变为原来的一半，两星球之间的距离减小，由观测知此时双星系统的角速度变为原来的1.5倍，则( )
A．两星球之间的距离变为23l
B．两星球之间的距离变为34l
C．A星球的轨道半径变为0.35l
D．A星球的轨道半径变为0.25l
模型2 三星模型及规律
例2 宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rAA．线速度大小关系是vA>vB>vC
B．加速度大小关系是aA>aB>aC
C．质量大小关系是mA>mB>mC
D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC
练1 [2021·哈尔滨市质检](多选)人类首次发现的引力波来源于距地球13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B．黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度
C．两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大
练2 [2021·河南南阳市联考](多选)为探测引力波，由中山大学领衔的“天琴计划”，将向太空发射三颗完全相同的卫星(SC1、SC2、SC3)，这三颗卫星构成一个等边三角形阵列，地球恰好处于该三角形的正中心，卫星将在以地球为中心、高度约为10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行引力波探测．如图所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”．已知地球同步卫星距离地面的高度约为36万公里．以下说法正确的是( )
A．三颗卫星具有相同大小的加速度
B．从每颗卫星上可以观察到地球上大于13的表面
C．三颗卫星绕地球运动的周期一定小于地球的自转周期
D．若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，则可估算出地球的密度
第4讲 万有引力与航天
基础落实
知识点一
椭圆 椭圆 面积 三次方 二次方
知识点二
1．正比 反比
3．(1)质点 (2)两球心间
知识点三
1．7.9 匀速圆周 11.2 地球 16.7 太阳
2．最大
3．(1) GMR (2)gR
知识点四
1．(1)运动状态 (2)相同
2．(1)不同 (2)不变
思考辨析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√
教材改编
答案：A
考点突破
1．解析：由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为12T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于14T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
答案：CD
2．解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，因r月>r同>r卫，由开普勒第三定律r3T2＝k，可知，T月>T同>T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月>T地>T卫，选项A、C正确．
答案：AC
3．解析：本题考查卫星的变轨和开普勒行星运动定律．控制卫星从图中近地轨道进入椭圆轨道需要使卫星加速，A错误；根据开普勒第二定律可得vA·R＝vB·(6R＋R)，则卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的7倍，B错误；根据a＝GMr2，则aAaB＝rB2 rA2 ＝7R2R2＝49，则卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的49倍，C错误；根据开普勒第三定律得R3T2＝2R+6R23T2，解得T′＝8T，则卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点，D正确．
答案：D
例1 解析：设物体的质量为m，地球的质量为M地，地球半径为R地，地球对该物体的引力大小为F地，火星的质量为M火，火星半径为R火，火星对该物体的引力大小为F火．根据万有引力定律得F地＝GM地mR地2 ，F火＝GM火mR火2 ，根据题意知，R地＝2R火，M地＝10M火，联立解得F火F地＝0.4，故B正确，A、C、D项错误．
答案：B
例2 解析：由GMmR2＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值g火g＝M火R地2 M地R火2 ＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g，着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝v0t0.由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝m0.4g+v0t0，选项B正确．
答案：B
例3 解析：“嫦娥五号”探测器在距月球表面为R的轨道上运行，万有引力提供向心力，有GMm2R2＝m4π2T22R，得月球质量为M＝32π2R3GT2，A错误；月球密度ρ＝MV＝M43πR3＝24πGT2，C错误；对月球表面的物体m′，有GMm'R2＝m′g，得月球表面的重力加速度g＝GMR2＝32π2RT2，B正确；设月球第一宇宙速度为v，则GMmR2＝mv2R，得v＝GMR2＝42πRT2，D错误．
答案：B
练1 解析：设此时火箭离地球表面高度为h
由牛顿第二定律得：FN－mg′＝ma①
在地球表面mg＝GMmR2＝16 N②
由此得m＝1.6 kg，代入①
得g′＝58 m/s2③
又因在h处mg′＝GMmR+h2④
由②④得，g'g＝R2R+h2
代入数据，得h＝3R.
答案：B
练2 解析：设火星半径为R，火星探测器做匀速圆周运动半径为r，由GMmR2＝mg，ρ＝M43πR3得：ρ＝3g4πGR，由H＝12gt2得出g，却不知火星半径R，故A项错误；由GMmr2＝m4π2T2r，ρ＝M43πR3得：ρ＝3πr3GT2R3.当r＝R时ρ＝3πGT2，故B项正确；不知火星半径，故C项错误；D项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D项错误．
答案：B
练3 解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝Gm地m0R2，所以地球质量m地＝gR2G，故A项正确；对地球绕太阳运动来说，有Gm太m地L22 ＝m地4π2 T22 L2，则m太＝4π2L23 GT22 ，故B项正确；对月球绕地球运动来说，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，T2为地球绕太阳表面的运动周期，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．
答案：AB
例4 解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有GMmR2＝mv12 R，解得第一宇宙速度为v1＝GMR，所以火星的第一宇宙速度为v火＝10%50%v地＝55v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有GMmR2＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝GM火R火2 ＝10%50%2g地＝25g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．故选A.
答案：A
例5 解析：根据GMmr2＝mr4π2T2可得T＝4π2r3GM，地球同步卫星b的周期与地球自转周期相同，卫星c的周期也与地球自转周期相同，则卫星b、c的轨道半径相等，A正确；根据GMmr2＝mrω2可得ω＝GMr3，卫星d的轨道半径比卫星c的小，所以卫星d的角速度一定比卫星c的角速度大，B错误；根据GMmr2＝ma可得a＝GMr2，卫星b的轨道半径大于卫星d的轨道半径，卫星b的向心加速度小于卫星d的向心加速度，C正确；根据GMmr2＝mv2r可得Ek＝12mv2＝GMm2r，卫星b的轨道半径大于卫星d的轨道半径，卫星b的速度小于卫星d的速度，但卫星b和卫星d质量关系未知，故动能无法判断，D错误．
答案：AC
例6 解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝mv2r，解得线速度v＝GMr，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝mr2πT2，解得周期T＝2π r3GM，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝2πT，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝ma，解得加速度a＝GMr2，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误．
答案：A
练4 解析：本题考查同步卫星的运行特点．由题意可知，“吉星”为地球同步轨道卫星，则运行过程中周期与地球自转周期相同，即保持不变，故A正确；“吉星”做圆周运动，则线速度方向时刻变化，所以线速度时刻变化，故B错误；“吉星”运行过程中向心加速度大小不变，方向时刻改变，故C错误；“吉星”为地球同步轨道卫星，只能静止在与地球赤道平面共面的位置，故D错误．
答案：A
练5 解析：倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动，而地球同步轨道卫星相对于地球静止，选项A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同，但运动半径较小，根据a＝ω2r可知，赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度，选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上发射卫星的最小速度，选项C错误；如题图所示，地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点，交点位置正下方的人用望远镜观测，一天能看到两次此卫星，选项D正确．
答案：D
练6 解析：火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r，解得a＝GMr2，v＝ GMr，ω＝GMr3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B项错；角速度大小之比为22∶33，C项对；向心加速度大小之比为4∶9，D项错．
答案：C
思维拓展
典例1 解析：双星做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，设A星球的质量为m1，轨道半径为R，B星球的质量为m2，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得Gm1m2l2＝m1Rω2＝m2rω2，解得Gm2l2＝Rω2，Gm1l2＝rω2，左右分别相加得Gm1+m2l2＝(R＋r)ω2＝ω2l，即G(m1＋m2)＝3Gm2＝ω2l3，A星球的质量变为原来的一半，角速度变为原来的1.5倍，则G(m′1＋m2)＝2Gm2＝32ω2l′3，可得l′＝23l，A正确，B错误；此时两个星球的质量相等，则它们的轨道半径也相等，即rA＝rB＝13l，C、D错误．
答案：A
典例2 解析：三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rAGmBmCa2，mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知，FA>FB>FC，D错误．
答案：C
练1 解析：设两个黑洞质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两黑洞的运动属于同轴转动的模型，角速度ω相等，则有mAω2RA＝mBω2RB，得mAmB＝RBRA，由图可知RA＞RB，则mA＜mB，故A错误．根据线速度与角速度公式可知黑洞A、B的线速度分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故B正确．根据万有引力提供向心力有GmAmBL2＝mAω2RA＝mBω2RB，RA＋RB＝L，解得G(mA＋mB)＝ω2L3，又T＝2πω，mA＋mB＝M, 解得T＝2πL3GM，两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大，故C错误，D正确．
答案：BD
练2 解析：根据GMmr2＝ma，可解得加速度a＝GMr2，由于三颗卫星到地球的距离相等，故绕地球运动的轨道半径r相等，则它们的加速度大小相等，选项A正确；由题图可知三颗卫星所组成的三角形的内角均为60°，则每颗卫星关于地球的张角小于60°，所覆盖地球的圆心角大于120°，故从每颗卫星上可以观察到地球上大于13的表面，选项B正确；卫星运行时由万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T2r，解得周期T＝2π r3GM，由于三颗卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期小于地球同步卫星绕地球运动的周期，即小于地球的自转周期，选项C正确；若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，根据GMmr2＝m4π2T2r，解得M＝4π2r3GT2，由于地球的半径未知，不能计算地球的质量，也不能计算出地球的体积，故不能估算出地球的密度，选项D错误．
答案：ABC
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的______跟它的公转周期的________的比值都相等
a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝________ km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做________运动的速度
第二宇宙速度
(脱离速度)
v2＝________ km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
(逃逸速度)
v3＝________ km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度
eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,2r2)＝ma向
eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
r＝eq \f(L,2cs 30°)
知识点一 开普勒三定律的内容、公式
知识点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________，与它们之间距离r的二次方成________．
2．表达式
F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是________的距离．
知识点三 宇宙速度
1．三个宇宙速度
2.第一宇宙速度的理解：人造卫星的________环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．
3．第一宇宙速度的计算方法
(1)由GMmR2＝mv2R得v＝________.(2)由mg＝mv2R得v＝________.
知识点四 经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随________而改变的．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．
(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是________的．,
思考辨析
(1)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大．( )
(2)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．( )
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )
(4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )
(5)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )
(6)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )
(7)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )
(8)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )
教材改编
[人教版必修2P48T3改编]火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A. 55v B. 5v C. 2v D. 22v
考点一 开普勒三定律的理解与应用自主演练
1．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
2．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
[多维练透]
1．[2017·全国卷Ⅱ，19](多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于T04
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
2. (多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )
A．T卫
C．T卫
A．控制卫星从图中近地轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速
B．卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的6倍
C．卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的6倍
D．卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点
考点二 万有引力定律的理解及应用
师生共研
题型1|万有引力的计算
例1 [2020·全国卷Ⅰ，15]火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
题型2|星体表面的重力加速度
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：GMmR2＝mg2.
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝GmMR2，得g＝GMR2，即GM＝gR2.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
mg′＝GMm(R+h)2，得g′＝GM(R+h)2，所以g′＝R2(R+h)2g
例2 [2020·新高考Ⅰ卷，7]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0))) C．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
题型|天体质量和密度的计算
例3 如图所示，“嫦娥五号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分．探测器自动完成月面样品采集，并在2020年12月17日凌晨安全着陆回家．若已知月球半径为R，“嫦娥五号”在距月球表面为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．月球的质量为4π2R3GT2
B．月球表面的重力加速度为32π2RT2
C．月球的密度为3πGT2
D．月球第一宇宙速度为4πRT
练1 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍( )
A．2 B．3 C．3.5 D．4
练2 [2020·青岛二模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地．若已知引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T
练3 (多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝gR2G B．太阳的质量m太＝4π2L23GT22
C．月球的质量m月＝4π2L13GT12 D．太阳的平均密度ρ＝3πGT22
题后反思
计算天体质量和密度的方法
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.
②天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.
③GM＝gR2称为黄金代换公式．
(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
①由GMmr2＝m4π2T2r得天体的质量M＝4π2r3GT2.
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.
考点三 卫星运行规律及特点
多维探究
题型1宇宙速度
例4 [2020·北京卷，5]我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
题型2卫星运行参量的比较
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供其所需向心力，由GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝ma可推导出：
例5 (多选)2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．若其导航系统中部分卫星的运动轨道如图所示．b为地球同步卫星；c为倾斜圆轨道卫星，其轨道平面与赤道平面有一定的夹角，周期与地球自转周期相同．d为地球的低轨道极地卫星，下列说法正确的是( )
A．卫星b和卫星c的运行半径相等
B．卫星d的角速度一定比卫星c的角速度小
C．卫星b的向心加速度比卫星d的向心加速度小
D．卫星d的动能一定比卫星b的动能大
题型3|近地卫星、同步卫星问题
1．近地卫星eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(轨道半径r＝R地球半径,向心加速度a＝g重力加速度,环绕速度v＝7.9 km/s,周期T≈84 min))
2．地球同步卫星的五个“一定”
例6 [2020·天津卷，2]北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大 B．线速度大
C．角速度大 D．加速度大
练4 [2020·黑龙江哈尔滨三中二模]2020年3月9日19时55分，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，该卫星被科研人员称为“吉星”，是北斗三号卫星导航系统第二颗地球同步轨道卫星，下列对于“吉星”的说法正确的是( )
A．“吉星”运行过程中周期保持不变
B．“吉星”运行过程中线速度保持不变
C．“吉星”运行过程中向心加速度保持不变
D．“吉星”可能静止在地球上空的任意位置
练5 [2021·湖北八校联考]
2019年11月5日01时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第49颗北斗导航卫星，标志着北斗三号系统3颗倾斜地球同步轨道卫星全部发射完毕．如图所示，倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，运行周期等于地球的自转周期．倾斜地球同步轨道卫星正常运
行，则下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道的地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于地球的第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
练6 [2020·浙江卷，7]
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2：3
B．线速度大小之比为3：2
C．角速度大小之比为22：33
D．向心加速度大小之比为9：4
思维拓展
双星、多星模型
模型1双星模型及规律
Gm1m2L2＝m1ω2r1，
Gm1m2L2＝m2ω2r2，r1＋r2＝L.
例1 [2021·河南八市重点高中模拟]某双星系统中，A星球质量是B星球质量的2倍，两者之间的距离为l.经观测发现A星球上的物质在缓慢地向外太空逃逸，若干年后A星球的质量变为原来的一半，两星球之间的距离减小，由观测知此时双星系统的角速度变为原来的1.5倍，则( )
A．两星球之间的距离变为23l
B．两星球之间的距离变为34l
C．A星球的轨道半径变为0.35l
D．A星球的轨道半径变为0.25l
模型2 三星模型及规律
例2 宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA
B．加速度大小关系是aA>aB>aC
C．质量大小关系是mA>mB>mC
D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC
练1 [2021·哈尔滨市质检](多选)人类首次发现的引力波来源于距地球13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B．黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度
C．两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大
练2 [2021·河南南阳市联考](多选)为探测引力波，由中山大学领衔的“天琴计划”，将向太空发射三颗完全相同的卫星(SC1、SC2、SC3)，这三颗卫星构成一个等边三角形阵列，地球恰好处于该三角形的正中心，卫星将在以地球为中心、高度约为10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行引力波探测．如图所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”．已知地球同步卫星距离地面的高度约为36万公里．以下说法正确的是( )
A．三颗卫星具有相同大小的加速度
B．从每颗卫星上可以观察到地球上大于13的表面
C．三颗卫星绕地球运动的周期一定小于地球的自转周期
D．若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，则可估算出地球的密度
第4讲 万有引力与航天
基础落实
知识点一
椭圆 椭圆 面积 三次方 二次方
知识点二
1．正比 反比
3．(1)质点 (2)两球心间
知识点三
1．7.9 匀速圆周 11.2 地球 16.7 太阳
2．最大
3．(1) GMR (2)gR
知识点四
1．(1)运动状态 (2)相同
2．(1)不同 (2)不变
思考辨析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√
教材改编
答案：A
考点突破
1．解析：由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为12T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于14T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
答案：CD
2．解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，因r月>r同>r卫，由开普勒第三定律r3T2＝k，可知，T月>T同>T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月>T地>T卫，选项A、C正确．
答案：AC
3．解析：本题考查卫星的变轨和开普勒行星运动定律．控制卫星从图中近地轨道进入椭圆轨道需要使卫星加速，A错误；根据开普勒第二定律可得vA·R＝vB·(6R＋R)，则卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的7倍，B错误；根据a＝GMr2，则aAaB＝rB2 rA2 ＝7R2R2＝49，则卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的49倍，C错误；根据开普勒第三定律得R3T2＝2R+6R23T2，解得T′＝8T，则卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点，D正确．
答案：D
例1 解析：设物体的质量为m，地球的质量为M地，地球半径为R地，地球对该物体的引力大小为F地，火星的质量为M火，火星半径为R火，火星对该物体的引力大小为F火．根据万有引力定律得F地＝GM地mR地2 ，F火＝GM火mR火2 ，根据题意知，R地＝2R火，M地＝10M火，联立解得F火F地＝0.4，故B正确，A、C、D项错误．
答案：B
例2 解析：由GMmR2＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值g火g＝M火R地2 M地R火2 ＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g，着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝v0t0.由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝m0.4g+v0t0，选项B正确．
答案：B
例3 解析：“嫦娥五号”探测器在距月球表面为R的轨道上运行，万有引力提供向心力，有GMm2R2＝m4π2T22R，得月球质量为M＝32π2R3GT2，A错误；月球密度ρ＝MV＝M43πR3＝24πGT2，C错误；对月球表面的物体m′，有GMm'R2＝m′g，得月球表面的重力加速度g＝GMR2＝32π2RT2，B正确；设月球第一宇宙速度为v，则GMmR2＝mv2R，得v＝GMR2＝42πRT2，D错误．
答案：B
练1 解析：设此时火箭离地球表面高度为h
由牛顿第二定律得：FN－mg′＝ma①
在地球表面mg＝GMmR2＝16 N②
由此得m＝1.6 kg，代入①
得g′＝58 m/s2③
又因在h处mg′＝GMmR+h2④
由②④得，g'g＝R2R+h2
代入数据，得h＝3R.
答案：B
练2 解析：设火星半径为R，火星探测器做匀速圆周运动半径为r，由GMmR2＝mg，ρ＝M43πR3得：ρ＝3g4πGR，由H＝12gt2得出g，却不知火星半径R，故A项错误；由GMmr2＝m4π2T2r，ρ＝M43πR3得：ρ＝3πr3GT2R3.当r＝R时ρ＝3πGT2，故B项正确；不知火星半径，故C项错误；D项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D项错误．
答案：B
练3 解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝Gm地m0R2，所以地球质量m地＝gR2G，故A项正确；对地球绕太阳运动来说，有Gm太m地L22 ＝m地4π2 T22 L2，则m太＝4π2L23 GT22 ，故B项正确；对月球绕地球运动来说，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，T2为地球绕太阳表面的运动周期，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．
答案：AB
例4 解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有GMmR2＝mv12 R，解得第一宇宙速度为v1＝GMR，所以火星的第一宇宙速度为v火＝10%50%v地＝55v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有GMmR2＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝GM火R火2 ＝10%50%2g地＝25g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．故选A.
答案：A
例5 解析：根据GMmr2＝mr4π2T2可得T＝4π2r3GM，地球同步卫星b的周期与地球自转周期相同，卫星c的周期也与地球自转周期相同，则卫星b、c的轨道半径相等，A正确；根据GMmr2＝mrω2可得ω＝GMr3，卫星d的轨道半径比卫星c的小，所以卫星d的角速度一定比卫星c的角速度大，B错误；根据GMmr2＝ma可得a＝GMr2，卫星b的轨道半径大于卫星d的轨道半径，卫星b的向心加速度小于卫星d的向心加速度，C正确；根据GMmr2＝mv2r可得Ek＝12mv2＝GMm2r，卫星b的轨道半径大于卫星d的轨道半径，卫星b的速度小于卫星d的速度，但卫星b和卫星d质量关系未知，故动能无法判断，D错误．
答案：AC
例6 解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝mv2r，解得线速度v＝GMr，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝mr2πT2，解得周期T＝2π r3GM，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝2πT，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得GMmr2＝ma，解得加速度a＝GMr2，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误．
答案：A
练4 解析：本题考查同步卫星的运行特点．由题意可知，“吉星”为地球同步轨道卫星，则运行过程中周期与地球自转周期相同，即保持不变，故A正确；“吉星”做圆周运动，则线速度方向时刻变化，所以线速度时刻变化，故B错误；“吉星”运行过程中向心加速度大小不变，方向时刻改变，故C错误；“吉星”为地球同步轨道卫星，只能静止在与地球赤道平面共面的位置，故D错误．
答案：A
练5 解析：倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动，而地球同步轨道卫星相对于地球静止，选项A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同，但运动半径较小，根据a＝ω2r可知，赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度，选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上发射卫星的最小速度，选项C错误；如题图所示，地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点，交点位置正下方的人用望远镜观测，一天能看到两次此卫星，选项D正确．
答案：D
练6 解析：火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r，解得a＝GMr2，v＝ GMr，ω＝GMr3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B项错；角速度大小之比为22∶33，C项对；向心加速度大小之比为4∶9，D项错．
答案：C
思维拓展
典例1 解析：双星做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，设A星球的质量为m1，轨道半径为R，B星球的质量为m2，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得Gm1m2l2＝m1Rω2＝m2rω2，解得Gm2l2＝Rω2，Gm1l2＝rω2，左右分别相加得Gm1+m2l2＝(R＋r)ω2＝ω2l，即G(m1＋m2)＝3Gm2＝ω2l3，A星球的质量变为原来的一半，角速度变为原来的1.5倍，则G(m′1＋m2)＝2Gm2＝32ω2l′3，可得l′＝23l，A正确，B错误；此时两个星球的质量相等，则它们的轨道半径也相等，即rA＝rB＝13l，C、D错误．
答案：A
典例2 解析：三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA
答案：C
练1 解析：设两个黑洞质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两黑洞的运动属于同轴转动的模型，角速度ω相等，则有mAω2RA＝mBω2RB，得mAmB＝RBRA，由图可知RA＞RB，则mA＜mB，故A错误．根据线速度与角速度公式可知黑洞A、B的线速度分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故B正确．根据万有引力提供向心力有GmAmBL2＝mAω2RA＝mBω2RB，RA＋RB＝L，解得G(mA＋mB)＝ω2L3，又T＝2πω，mA＋mB＝M, 解得T＝2πL3GM，两个黑洞间的距离L一定，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定，L越大，T越大，故C错误，D正确．
答案：BD
练2 解析：根据GMmr2＝ma，可解得加速度a＝GMr2，由于三颗卫星到地球的距离相等，故绕地球运动的轨道半径r相等，则它们的加速度大小相等，选项A正确；由题图可知三颗卫星所组成的三角形的内角均为60°，则每颗卫星关于地球的张角小于60°，所覆盖地球的圆心角大于120°，故从每颗卫星上可以观察到地球上大于13的表面，选项B正确；卫星运行时由万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T2r，解得周期T＝2π r3GM，由于三颗卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期小于地球同步卫星绕地球运动的周期，即小于地球的自转周期，选项C正确；若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，根据GMmr2＝m4π2T2r，解得M＝4π2r3GT2，由于地球的半径未知，不能计算地球的质量，也不能计算出地球的体积，故不能估算出地球的密度，选项D错误．
答案：ABC
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的______跟它的公转周期的________的比值都相等
a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝________ km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做________运动的速度
第二宇宙速度
(脱离速度)
v2＝________ km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
(逃逸速度)
v3＝________ km/s，使物体挣脱________引力束缚的最小发射速度
eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,2r2)＝ma向
eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
r＝eq \f(L,2cs 30°)
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