2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、基础知识批注——理解深一点

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝.

平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．

2．诱导公式

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限.

二、常用结论汇总——规律多一点

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos α.

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

(二)选一选

1．已知sin α＝，则tan α＝(　　)

A．－2 　B．2

C.   D．－

解析：选D　因为≤α≤π，所以cos α＝－

＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.

2．若角α的终边过点A(2,1)，则sin＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

解析：选A　由题意知cos α＝＝，

所以sin＝－cos α＝－.

3．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tan θ＝2代入上式，则原式＝.

(三)填一填

4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.

解析：tan θ＋＝＋＝＝2.

答案：2

5．sin 2 490°＝________；cos＝________.

解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－.

cos＝cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

答案：－　－

[典例]　(1)已知f(α)＝，则f的值为________．

(2)已知cos＝，则sin＝________.

[解析]　(1)因为f(α)＝

＝＝cos α，

所以f＝cos＝cos＝.

(2)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.

[答案]　(1)　(2)－

[解题技法]

1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．明确三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名．

(2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．”

诱导公式就是好，负化正后大化小；

π的一半整数倍，奇数变化偶不变；

函数符号问象限，两个函数看左边．

[题组训练]

1.已知tan α＝，且α∈，则cos＝________.

解析：法一：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，

联立解得5sin2α＝1，故sin α＝－.

法二：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，由tan α＝，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－.

答案：－

2.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.

解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)  sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.

答案：2

3.已知tan＝，则tan＝________.

解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.

答案：－

 考点二　同角三角函数的基本关系及应用

[典例]　(1)若tan α＝2，则＋cos2α＝(　　)

A.　　　　　　　 　B．－

C.   D．－

(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)

A.   B．±

C．－   D．－

[解析]　(1)＋cos2α

＝＋

＝＋，

将tan α＝2代入上式，则原式＝.

(2)因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，因为<α<，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，

所以cos α－sin α＝－.

[答案]　(1)A　(2)D

[解题技法]

同角三角函数基本关系的3个应用技巧

[题组训练]

1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选D　因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝，

所以解得cos φ＝－.

2．已知tan θ＝3，则sin2θ＋sin θcos θ＝________.

解析：sin2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.

答案：

3．已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝________.

解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，

即sin α＝2cos α，所以tan α＝＝2，

从而sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.

答案：

4．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－，则cos α－sin α的值为________．

解析：由已知，得sin α＋cos α＝，

sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，

整理得2sin αcos α＝－.

因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，

且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0，

所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝.

答案：

A级——保大分专练

1．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 　B．－

C.   D．－

解析：选B　因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.

2．(2019·淮南十校联考)已知sin＝，则cos的值为(　　)

A．－   B.

C.   D．－

解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.

3．计算：sin ＋cos 的值为(　　)

A．－1   B．1

C．0   D.－

解析：选A　原式＝sin＋cos

＝－sin－cos＝－－＝－1.

4．若＝，则tan θ的值为(　　)

A．1   B．－1

C．3   D．－3

解析：选D　因为＝＝，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，

所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.

5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tan α的值为(　　)

A．－   B．－

C．－或－   D．不存在

解析：选A　由sin＋cos＝，

得cos α＋sin α＝，∴2sin αcos α＝－<0.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，

∴sin α－cos α＝＝，

∴sin α＝，cos α＝－，

∴tan α＝－.

6．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为(　　)

A．等腰三角形   B．直角三角形

C．等腰直角三角形   D．等边三角形

解析：选B　将sin＝3sin(π－A)化为cos A＝3sin A，则tan A＝，则A＝，将cos A＝－cos(π－B)化为 cos＝cos B，则cos B＝，则B＝，故△ABC为直角三角形．

7．化简：＝________.

解析：＝＝sin 2θ.

答案：sin 2θ

8．化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.

解析：原式＝·(－sin α)·cos α

＝·(－sin α)·cos α

＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

答案：－sin2α

9．sin·cos·tan的值为________．

解析：原式＝sin·cos·tan

＝··

＝××(－)＝－.

答案：－

10．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则＋cos4α＝________.

解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.

答案：2

11．已知α为第三象限角，

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值．

解：(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)∵cos＝，

∴－sin α＝，从而sin α＝－.

又∵α为第三象限角，

∴cos α＝－＝－，

∴f(α)＝－cos α＝.

12．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．

解：因为sin α＝>0，

所以α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋

＝tan α＋＝＋

＝.

①当α为第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

B级——创高分自选

1．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)

A．－   B.

C.   D．－

解析：选A　因为sin α＋cos α＝，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，

所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，

因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，

所以cos α－sin α＝－，

所以＝＝＝＝－.

2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.

解析：∵sin θ－2cos θ＝－，

∴sin θ＝2cos θ－，

∴2＋cos2θ＝1，

∴5cos2θ－cos θ－＝0，

即＝0.

又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝，

∴sin θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.

答案：

3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，

故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，

因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，

所以1＋2×＝2，解得m＝.

(3)由

得或

又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.

故当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝；

当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝.