2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识批注——理解深一点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsin α－sin α－sin αsin αcos αcos_αcos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin αtan αtan α－tan α－tan_α   诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限. 二、常用结论汇总——规律多一点同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α.三、基础小题强化——功底牢一点(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×(二)选一选1．已知sin α＝，则tan α＝(　　)A．－2 　B．2C.   D．－解析：选D　因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.2．若角α的终边过点A(2,1)，则sin＝(　　)A．－   B．－C.   D.解析：选A　由题意知cos α＝＝，所以sin＝－cos α＝－.3．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tan θ＝2代入上式，则原式＝. (三)填一填4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.解析：tan θ＋＝＋＝＝2.答案：25．sin 2 490°＝________；cos＝________.解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－.cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.答案：－　－ [典例]　(1)已知f(α)＝，则f的值为________．(2)已知cos＝，则sin＝________.[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos＝cos＝.(2)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.[答案]　(1)　(2)－[解题技法]1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．” 诱导公式就是好，负化正后大化小；π的一半整数倍，奇数变化偶不变；函数符号问象限，两个函数看左边． [题组训练]1.已知tan α＝，且α∈，则cos＝________.解析：法一：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，联立解得5sin2α＝1，故sin α＝－.法二：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，由tan α＝，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－.答案：－2.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)  sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.答案：23.已知tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－   考点二　同角三角函数的基本关系及应用 [典例]　(1)若tan α＝2，则＋cos2α＝(　　)A.　　　　　　　 　B．－C.   D．－(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)A.   B．±C．－   D．－[解析]　(1)＋cos2α＝＋＝＋，将tan α＝2代入上式，则原式＝.(2)因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，因为<α<，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－.[答案]　(1)A　(2)D [解题技法]同角三角函数基本关系的3个应用技巧弦切互化利用公式tan α＝实现角α的弦切互化和(差)积转换利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α [题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝(　　)A.   B．－C.   D．－解析：选D　因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝，所以解得cos φ＝－.2．已知tan θ＝3，则sin2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.答案：3．已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，所以tan α＝＝2，从而sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.答案：4．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，整理得2sin αcos α＝－.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝.答案：A级——保大分专练1．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)A.　　　　　　　　　 　B．－C.   D．－解析：选B　因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.2．(2019·淮南十校联考)已知sin＝，则cos的值为(　　)A．－   B.C.   D．－解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.3．计算：sin ＋cos 的值为(　　)A．－1   B．1C．0   D.－解析：选A　原式＝sin＋cos＝－sin－cos＝－－＝－1.4．若＝，则tan θ的值为(　　)A．1   B．－1C．3   D．－3解析：选D　因为＝＝，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tan α的值为(　　)A．－   B．－C．－或－   D．不存在解析：选A　由sin＋cos＝，得cos α＋sin α＝，∴2sin αcos α＝－<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝＝，∴sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝－.6．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为(　　)A．等腰三角形   B．直角三角形C．等腰直角三角形   D．等边三角形解析：选B　将sin＝3sin(π－A)化为cos A＝3sin A，则tan A＝，则A＝，将cos A＝－cos(π－B)化为 cos＝cos B，则cos B＝，则B＝，故△ABC为直角三角形．7．化简：＝________.解析：＝＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.答案：－sin2α9．sin·cos·tan的值为________．解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.答案：－10．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则＋cos4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cos α.(2)∵cos＝，∴－sin α＝，从而sin α＝－.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，∴f(α)＝－cos α＝.12．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．解：因为sin α＝>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.①当α为第一象限角时，cos α＝＝，原式＝＝.②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.综合①②知，原式＝或－.B级——创高分自选1．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)A．－   B.C.   D．－解析：选A　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－，所以＝＝＝＝－.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－，∴sin θ＝2cos θ－，∴2＋cos2θ＝1，∴5cos2θ－cos θ－＝0，即＝0.又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝，∴sin θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.答案：3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋2×＝2，解得m＝.(3)由得或又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.故当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝；当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝.