2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第四章第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
突破点一　同角三角函数的基本关系


1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×
二、填空题
1．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－，于是tan α＝－.
答案：－
2．已知tan α＝2，则的值为________．
解析：原式＝＝＝3.
答案：3


考法一　知弦求弦、切或知切求弦　
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
[例1]　(1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A.　　　　　　 B．－
C. D．－
(2)(2019·甘肃诊断)已知tan x＝，且角x的终边落在第三象限，则cos x＝(　　)
A. B．－
C. D．－
[解析]　(1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B.
(2)因为角x的终边落在第三象限，所以cos x<0，
因为tan x＝，所以解得cos x＝－，故选D.
[答案]　(1)B　(2)D
[易错提醒]
知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．　　
考法二　知切求f(sin α、cos α)的值　
[例2]　(2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则＝(　　)
A. B.
C. D．2
[解析]　∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴＝＝＝.故选B.
[答案]　B
[方法技巧]
利用“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．　　
考法三　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用　
[例3]　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
(2)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)因为sin αcos α＝，
所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
因为<α<，所以cos α 即cos α－sin α<0，
所以cos α－sin α＝－.
(2)∵sin α＋cos α＝，
∴1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，(cos α－sin α)2＝1＋＝.
又∵－<α<0，
∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝，
∴＝＝＝.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个．　　

1.已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　∵cos α＝－且α∈(0，π)，∴sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.故选D.
2.已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－.
答案：－
3.已知tan α＝－，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：(1)＝＝＝.
(2)＝＝＝＝＝－.
(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.
突破点二　三角函数的诱导公式


组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α



一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、填空题
1．已知cos(π＋α)＝－，则sin等于________．
解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－，则cos α＝，sin＝－sin＝－cos α＝ －.
答案：－
2．已知sin＝，则sin等于________．
解析：sin＝sin＝－sin＝－.
答案：－
3．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan＝tanπ－－α
＝－tan＝－.
答案：－

1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

(2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f(α)＝ .
(1)化简f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．
解：(1)f(α)＝
＝＝＝－sin α.
(2)由已知得－sin α<，∴sin α>－，
∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.
∵－<α<，∴－<α<.
故α的取值范围为.

应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．

1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A　sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－.故选A.
2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D　∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，∴tan＝＝±2，故选D.
3．(2019·南充模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数．若f(2 019)＝－1，则f(2 020)＝(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－1
解析：选A　∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝－asin α－bcos β＝－1，∴asin α＋bcos β＝1，∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝1.故选A.
4．化简：＝________.
解析：原式＝＝＝1.
答案：1
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选B　因为x∈，所以sin x＝－＝－，
所以tan x＝＝－.故选B.
2．(2019·淮南十校联考)已知sin＝，则cos的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A.
3．(2019·重庆一模)log2的值为(　　)
A．－1 B．－
C. D.
解析：选B　log2＝log2＝log2＝－.故选B.
4．(2019·遵义模拟)若sin＝－，且α∈，π，则sin(π－2α)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　∵sin＝cos α＝－，α∈，∴sin α＝，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.故选A.
5．(2019·沈阳模拟)若＝2，则cos α－3sin α＝(　　)
A．－3 B．3
C．－ D.

解析：选C　∵＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝或sin α＝0(舍去)，
∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－.故选C.
6．(2019·庄河高中期中)已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A　cos＝cos＝sin＝.故选A.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝，则tan α＋＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：选C　tan α＋＝＋＝＝＝＝3.故选C.
2．(2019·常德一中月考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　因为sin α＋2cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或所以tan α＝3或－.所以tan 2α＝＝＝－或tan 2α＝＝＝－.故选C.

3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝，所以sin2α－2sin αcos α＝＝＝－.故选A.
4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tan α的值是(　　)
A．－ B．－
C．－或－ D．不存在
解析：选A　由sin＋cos＝，得cos α＋sin α＝，∴2sin αcos α＝－<0.∵α∈(0，π)，∴α∈，∴sin α－cos α＝＝，∴sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝－，故选A.
5．(2019·平顶山、许昌联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选A　由＝5，得＝5，解得tanα＝2，∴cos2α＋sin 2α＝＝＝＝.
6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选B　∵sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，∴sin θ－cos θ＝ ＝，故选B.
7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，即＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.故选B.
8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝，0<α<π，则sin＋cos＝________.
解析：2＝1＋sin α＝，又0<α<π，∴sin＋cos>0，∴sin＋cos＝.
答案：
9．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则tan θ＝________.
解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－，又<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝，
由，解得
∴tan θ＝＝－.
答案：－
10．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin·cos＝，且0<α<，则 sin α＝________，cos α＝________.
解析：sincos＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝.又∵0<α<，
∴0 答案：　
11．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝，α∈.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求的值．
解：(1)∵cos α－sin α＝，α∈，
平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.
(2)sin α＋cos α＝＝＝，
∴原式＝＝＝(cos α＋sin α)＝.
12．在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，
所以cos＝cos＝sin，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)因为cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形.