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2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第十节变化率与导数、导数的运算
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第十节变化率与导数、导数的运算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝li ＝li .
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题体验]
1．下列求导运算正确的是( )
A.＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B ＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B.
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏]
1．函数y＝的导函数为________________．
答案：y′＝
2．(2018·杭州模拟)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－ ，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即为x－y＋1＝0. 故选A.
[题组练透]
求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)(易错题)y＝xsincos；
(5)y＝ln(2x－5)．
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
[谨记通法]
求函数导数的3种原则
[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元．
[锁定考向]
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值(范围)．
[题点全练]
角度一：求切线方程
1．曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A． B．
C． D．1
解析：选B 因为y′＝，所以y′，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
角度二：求切点坐标
2．(2018·湖州模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
解析：选C 设P0(x0，y0)，则f′(x)＝3x2＋1，即f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C.
角度三：求参数的值(范围)
3．(2018·宁波二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C． D．
解析：选D 由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1＞1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤.
[通法在握]
与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
[演练冲关]
1．(2018·杭州质量预测)函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选C 依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为f ′(x)＝excos x－exsin x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，故选C.
2．曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
解析：∵y＝aln x，∴y′＝，
∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，
故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)．
令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.
∴三角形面积S＝×a×1＝4，∴a＝8.
答案：8
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选C 曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，∴f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
3．(2018·温州模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 017)＝( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选D 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 017)＝＋1＝.故选D.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
5．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1(a＞0，b＞0)，则函数g(x)＝aln x＋在点(b，g(b))处切线的斜率的最小值是________．
解析：因为a＞0，b＞0，f′(x)＝x2－bx＋a，所以g′(x)＝＋，则g′(b)＝＋＝＋≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.
答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2018·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
解析：选C 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
3．(2018·台州测试)已知f(x)＝x2＋2f′(1)，则f(0)等于( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选B 由已知f(x)＝x2＋2f′(1)，
得f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以f(x)＝x2＋4，
所以f(0)＝4.故选B.
4．(2018·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A ∵y＝1－＝，
∴y′＝＝，y′＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：选D ∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，
解得m＝－2.
6．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________，b＝________.
解析：由f(x)＝x3＋ax＋b，得f′(x)＝3x2＋a，由题意，得f′(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1.又在切线方程中，当x＝1时，y＝－3，所以f(1)＝13－1×1＋b＝－3，解得b＝－3.
答案：－1 －3
7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：0
8．(2018·杭二期中)设函数F(x)＝ln x＋(0＜x≤3)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由F(x)＝ln x＋(0＜x≤3)，得F′(x)＝(0＜x≤3 )，则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立，所以a≥max.当x0＝1时，－x＋x0在(0,3]上取得最大值，所以a≥.
答案：
9．(2018·杭州六校联考)已知函数f(x)＝x3－ax＋1.若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的取值范围．
解：因为对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，
所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，
只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，
而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，
所以－a＞－1，即a＜1.
故实数a的取值范围为(－∞，1)．
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
综上，a的值为－1或－.
2．(2018·温州月考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围是∪.
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝li ＝li .
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题体验]
1．下列求导运算正确的是( )
A.＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B ＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B.
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏]
1．函数y＝的导函数为________________．
答案：y′＝
2．(2018·杭州模拟)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－ ，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即为x－y＋1＝0. 故选A.
[题组练透]
求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)(易错题)y＝xsincos；
(5)y＝ln(2x－5)．
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
[谨记通法]
求函数导数的3种原则
[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元．
[锁定考向]
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值(范围)．
[题点全练]
角度一：求切线方程
1．曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A． B．
C． D．1
解析：选B 因为y′＝，所以y′，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
角度二：求切点坐标
2．(2018·湖州模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
解析：选C 设P0(x0，y0)，则f′(x)＝3x2＋1，即f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C.
角度三：求参数的值(范围)
3．(2018·宁波二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C． D．
解析：选D 由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1＞1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤.
[通法在握]
与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
[演练冲关]
1．(2018·杭州质量预测)函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选C 依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为f ′(x)＝excos x－exsin x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，故选C.
2．曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
解析：∵y＝aln x，∴y′＝，
∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，
故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)．
令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.
∴三角形面积S＝×a×1＝4，∴a＝8.
答案：8
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选C 曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，∴f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
3．(2018·温州模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 017)＝( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选D 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 017)＝＋1＝.故选D.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
5．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1(a＞0，b＞0)，则函数g(x)＝aln x＋在点(b，g(b))处切线的斜率的最小值是________．
解析：因为a＞0，b＞0，f′(x)＝x2－bx＋a，所以g′(x)＝＋，则g′(b)＝＋＝＋≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.
答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′＝e－1，故曲线y＝ex—ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2018·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
解析：选C 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
3．(2018·台州测试)已知f(x)＝x2＋2f′(1)，则f(0)等于( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选B 由已知f(x)＝x2＋2f′(1)，
得f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以f(x)＝x2＋4，
所以f(0)＝4.故选B.
4．(2018·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A ∵y＝1－＝，
∴y′＝＝，y′＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：选D ∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，
解得m＝－2.
6．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________，b＝________.
解析：由f(x)＝x3＋ax＋b，得f′(x)＝3x2＋a，由题意，得f′(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1.又在切线方程中，当x＝1时，y＝－3，所以f(1)＝13－1×1＋b＝－3，解得b＝－3.
答案：－1 －3
7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：0
8．(2018·杭二期中)设函数F(x)＝ln x＋(0＜x≤3)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由F(x)＝ln x＋(0＜x≤3)，得F′(x)＝(0＜x≤3 )，则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立，所以a≥max.当x0＝1时，－x＋x0在(0,3]上取得最大值，所以a≥.
答案：
9．(2018·杭州六校联考)已知函数f(x)＝x3－ax＋1.若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的取值范围．
解：因为对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，
所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，
只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，
而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，
所以－a＞－1，即a＜1.
故实数a的取值范围为(－∞，1)．
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
综上，a的值为－1或－.
2．(2018·温州月考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围是∪.
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