2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第十章计数原理10.3

§10.3　二项式定理
最新考纲
考情考向分析
1.了解二项式定理.
2.理解二项式系数的性质.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.


1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0，1，2，…，n})

2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1.
C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大.
(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
概念方法微思考
1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示　(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式形式上有什么特点？
提示　二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示　不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　×　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　×　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　√　)
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.(　×　)
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(　×　)
题组二　教材改编
2.[P31例2(2)](1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)
A.80 B.40 C.20 D.10
答案　B
解析　Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.
3.[P31例2(2)]若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.120
答案　B
解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
4.[P41B组T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案　B
解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三　易错自纠
5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
6.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11).
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以a6＝C，则k的最大值为6.
7.(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________.
答案　6
解析　二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.


题型一　二项展开式

命题点1　求指定项(或系数)
例1　(1)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案　C
解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)(2018·温州市高考适应性测试)在9的展开式中，常数项是(　　)
A.C B.－C
C.8C D.－8C
答案　D
解析　二项式9的展开式的通项公式为C9－k(－2x)k＝，令＝0，得k＝3，则二项式9的展开式中的常数项为(－2)3C＝－8C，故选D.
(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________.
答案　12
解析　方法一　(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，
其展开式的第k＋1项的通项公式为Tk＋1＝C(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2，
所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.
因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，
所以x3y2的系数是6×2＝12.
方法二　(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，
在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，
故x3y2的系数是C·C·C＝12.
命题点2　求参数
例2　(1)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　D
解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.
(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)
A.±2 B. C.－2 D.±
答案　A
解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k，令12－3k＝0，
得k＝4.
故C·4＝，即4＝，解得a＝±2，故选A.
思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
跟踪训练1　(1)(2018·浙江七彩阳光联盟联考)(1＋x)6的展开式中x3的系数为__________.
答案　14
解析　在(1＋x)6的展开式中x3的系数为C＝20，·(1＋x)6的展开式中x3的系数为C＝6，所以(1＋x)6的展开式中x3的系数为20－6＝14.
(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若6的展开式中x3的系数为－12，则a＝______；常数项是________.
答案　2　60
解析　由于二项展开式的通项Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kCx6－3k，令6－3k＝3，则k＝1，所以(－a)C＝－6a＝－12，a＝2；令6－3k＝0，则k＝2，所以常数项是(－2)2C＝4×15＝60.
题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题
例3　(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
答案　3
解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
答案　1或－3
解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________.
答案　255
解析　n展开式的第k＋1项为
Tk＋1＝C(x2)n－k·k＝C(－1)kx2n－3k，
当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.
对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
又当x＝0时，a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.


题型三　二项式定理的应用
例4　(1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)
A.0 B.1 C.11 D.12
答案　D
解析　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，
∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，
∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.
(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于(　　)
A.i B.－i
C.－1＋i D.－1－i
答案　C
解析　x＝＝＝－1＋i，
Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017
＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.
思维升华 (1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路
①观察除式与被除式间的关系；
②将被除式拆成二项式；
③结合二项式定理得出结论.
跟踪训练3　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)
A.－1 B.1 C.－87 D.87
答案　B
解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋＋…＋＝________.
答案　－1
解析　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋，
即＋＋…＋＝－1.


1.在6的展开式中，常数项为(　　)
A.－240 B.－60 C.60 D.240
答案　D
解析　6的展开式中，通项公式为Tk＋1＝C(x2)6－kk＝(－2)kCx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，故常数项为T5＝(－2)4C＝240，故选D.
2.(2018·杭州质检)二项式5的展开式中含x3项的系数是(　　)
A.80 B.48 C.－40 D.－80
答案　D
解析　∵5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k25－kCx5－2k，5－2k＝3，则k＝1，∴含x3的项为T2＝(－1)124Cx3＝－80x3，其中系数为－80，故选D.
3.(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)
A.－80 B.－40 C.40 D.80
答案　D
解析　(2x－y)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.
4.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为(　　)
A.21 B.35 C.45 D.28
答案　B
解析　∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，故选B.
5.(2018·浙江省考前热身联考)3展开式的常数项为(　　)
A.120 B.160 C.200 D.240
答案　B
解析　3＝6，展开式的通项为Tk＋1＝C·6－k·(2x)k＝C2kx2k－6，令2k－6＝0，可得k＝3，故展开式的常数项为160.
6.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为(　　)
A.－4 B. C.4 D.
答案　C
解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4.
7.(2018·浙江省重点中学高三调研)9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为(　　)
A.－671 B.671 C.672 D.673
答案　B
解析　令x＝1，可得该二项展开式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C9－k·(－2x2)k＝C(－2)k·x3k－9，令3k－9＝0，得k＝3，所以该二项展开式中的常数项为C(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671，故选B.
8.若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)
A.22 018－1 B.82 018－1 C.22 018 D.82 018
答案　B
解析　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
9.(2018·绍兴诸暨期末)已知(2x＋1)6＝a6(x＋1)6＋a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋…＋a1(x＋1)＋a0，则a0＋a1＋a2＋…＋a6＝________，a2＝________.
答案　1　60
解析　令x＝0，即得16＝a6＋a5＋…＋a1＋a0，
又(2x＋1)6＝[2(x＋1)－1]6的展开式的通项为Tk＋1＝C[2(x＋1)]6－k(－1)k，
则a2＝C22·(－1)4＝60.
10.(2018·杭州四校联考)已知n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝________；若含x8项的系数为，则常数项为________.
答案　12　
解析　因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以展开式共有13项，n＝12，则二项展开式的通项Tk＋1＝令12－k＝8，得k＝3，所以Ca9＝，得×a9＝，得a9＝，即a＝.
令12－k＝0，得k＝9，
故常数项为T10＝Ca3＝×3＝.
11.9192除以100的余数是________.
答案　81
解析　9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋(C90＋C)＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，所以9192除以100的余数是81.
12.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝__________.(用数字作答)
答案　364
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，
∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.
令x＝0，得a0＝1，
∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.

13.(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)等于(　　)
A.45 B.60 C.120 D.210
答案　C
解析　因为f(m，n)＝CC，
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
14.已知n(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p＋64q的最小值为______.
答案　16
解析　显然p＝2n.令x＝1，得q＝.
所以p＋64q＝2n＋≥2＝16，
当且仅当2n＝，
即n＝3时取等号，此时p＋64q的最小值为16.

15.(2018·金华模拟)若(3－2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＝________.
答案　－20
解析　对原等式两边求导，得－20(3－2x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＝－20.
16.若n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项.
解　易求得展开式前三项的系数为1，2C，4C.
由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)设展开式中的有理项为Tk＋1，
由Tk＋1＝C()9－kk＝
又∵0≤k≤9，∴k＝2，6.
故有理项为T3＝＝144x3，

(2)设展开式中Tk＋1项的系数最大，则
∴≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.