2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第十章计数原理10.2

§10.2　排列与组合
最新考纲
考情考向分析
1.了解排列、组合的概念.
2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题.
以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.


1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组

2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝
(2)C＝＝＝
性质
(3)0！＝1；A＝n！
(4)C＝C；C＝C＋C

概念方法微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？
提示　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？
提示　(1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？
提示　解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　×　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　×　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　√　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)
(5)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　×　)
(6)kC＝nC.(　√　)
题组二　教材改编
2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A.144 B.120 C.72 D.24
答案　D
解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)
A.8 B.24 C.48 D.120
答案　C
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，
共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
题组三　易错自纠
4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
答案　B
解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，
有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.
所以共有120＋96＝216(种)排法.
5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为(　　)
A.180 B.240 C.540 D.630
答案　C
解析　依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA＝360(种)；③每个国家各派2名，有·A＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.
6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答)
答案　45
解析　设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).

题型一　排列问题
1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有(　　)
A.96个 B.78个
C.72个 D.64个
答案　B
解析　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.
2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
答案　1 560
解析　由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)留言.
3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法.
答案　480
解析　方法一　(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：
第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；
第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法.
由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法.
方法二　(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：
第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；
第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法.
由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法.
思维升华 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
题型二　组合问题
例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员.
解　(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有C种选法；
第二步，选2名女运动员，有C种选法.
由分步乘法计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法.
(2)方法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种).
方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种).
(3)方法一　(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为C；
“只有女队长”的选法种数为C；
“男、女队长都入选”的选法种数为C，
所以共有2C＋C＝196(种)选法.
方法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法，
其中不选队长的方法有C种.所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种).
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种).
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种取法，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法.
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法.
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)方法一　(间接法)
选取3种商品的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
方法二　(直接法)
选取0种假货有C种，选取1种假货有CC种，选取2种假货有CC种，
因此共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.

题型三　排列与组合的综合问题

命题点1　相邻问题
例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为(　　)
A.2 B.9 C.72 D.36
答案　C
解析　可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A种排法；第二步，3名女生排在一起有A种排法，3名男生排在一起有A种排法，故排法种数为AAA＝72.
命题点2　相间问题
例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72 B.120 C.144 D.168
答案　B
解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.


命题点3　特殊元素(位置)问题
例4 (2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为(　　)
A.96 B.120 C.132 D.240
答案　C
解析　当甲选A时，共有CCA＝36(种)分配方案；当甲不选A时，若B安排两人，共有CCA＝24(种)分配方案，若C或D安排两人，共有CCCA＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24＋72＝132(种)分配方案.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
①按元素(位置)的性质进行分类；
②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
答案　36
解析　将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法.于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)
答案　660
解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法.
有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.
方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，
而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种).




1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有(　　)
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
答案　C
解析　从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600种，故选C.
2.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为(　　)
A.12 B.36 C.72 D.108
答案　B
解析　由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C种选法；第二步，将上述三组与3个路口对应，共有A种分配方案.故不同的分配方案种数为CA＝36.故选B.
3.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有(　　)
A.18种 B.12种 C.36种 D.24种
答案　D
解析　①甲单独一人时，则甲只能去B，C两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有CCA＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B，C两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有CCA＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.
4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　设盒中白色卡片有x张，则C－C＝35，
∴x2－19x＋70＝0，∴x＝5或x＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B.
5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是(　　)
A.144 B.216 C.288 D.432
答案　D
解析　第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有CCA＝18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有A＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.
6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是(　　)
A.252 B.253 C.222 D.223
答案　C
解析　采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222种.故选C.
7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
答案　1 260
解析　不含有0的四位数有C×C×A＝720(个).
含有0的四位数有C×C×C×A＝540(个).
综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.
8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)
答案　60
解析　分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；
第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法.
总获奖情况共有A＋CA＝60(种).
9.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)
答案　120
解析　先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有CA＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有CA＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).
10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.
答案　240
解析　由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个).
11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有______种情况.
答案　336
解析　当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有AA种情况；当语文和数学有一科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有CCACA种情况，所以不同的功课安排一共有AA＋CCACA＝336(种)情况.
12.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
答案　114
解析　5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，
故有90－18＝72(种)，
根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).

13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为(　　)
A.120 B.240 C.360 D.480
答案　C
解析　前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种，故共有CC(A＋CA)＝360(种)，故选C.
14.设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？
解　a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1，2，3，…，9}.①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b a
9
8
7
6
5
4
3
2
b
4，3，2，1
4，3，2，1
3，2，1
3，2，1
1，2
1，2
1
1

共20种情况.同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C种情况，
故n2＝C(2C－20)＝156.
综上，n＝n1＋n2＝165.

15.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，6，7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为(　　)
A.938 B.900 C.1 200 D.1 300
答案　A
解析　A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C×2＋C×22＋C×23＋C×24＝938(个).
16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答).
答案　408
解析　不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A种排法，即此时排法共有AA＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有AA＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝408(种).