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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章 不等式高考专题突破一
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高考专题突破一 高考中的不等式问题
题型一 含参数不等式的解法
例1 解关于x的不等式x2＋ax＋1>0(a∈R)．
解 对于方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4.
(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2＝，
且x1
；
(2)当Δ＝0，即a＝±2时，
①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
(3)当Δ<0，即－2
(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
跟踪训练1 (1)若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．
∴－7×(－1)＝，故a＝3.
(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析 依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
题型二 线性规划问题
例2 (2018·浙江五校联考)已知实数x，y满足约束条件且z＝ax＋y的最大值为16，则实数a＝________，z的最小值为________．
答案 2 1
解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域)．目标函数z＝ax＋y对应直线ax＋y－z＝0的斜率k＝－a.
(1)当k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1时，目标函数在点A处取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值为5a＋6，即5a＋6＝16，解得a＝2.
(2)当k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1时，目标函数在点C处取得最大值，由解得C(0,1)，故z的最大值为0×a＋1＝1，不符合题意．
综上，a＝2.
数形结合知，当直线z＝2x＋y经过点C时，z取得最小值，zmin＝2×0＋1＝1.
思维升华
1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有
(1)截距型：如z＝－2x＋y，z＝，z＝·(其中M(x，y)为区域内动点，P(－2,1))，等等．
(2)距离型：如z＝(x－2)2＋y2，z＝|2x－y|，等等．
(3)斜率型：如z＝，z＝，z＝，z＝＋＝，等等．
(4)二次曲线型：如z＝xy，z＝，z＝＋y2，等等．
3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．
跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围为( )
A．(－6，－1) B．(－8，－2)
C．(－1,8) D．(－2,6)
答案 D
解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y＝2x，平移直线，直线z＝2x－y在点B(－1,0)处的取最小值为－2，在点C(3,0)处的取最大值为6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)．
方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z＝2x－y求值，得0，－2,6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)．
(2)若x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为________，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值为________．
答案 30
解析 作出表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为×5×2＋×10×5＝30.
z＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值为点M(－1,1)到直线2x－y＝0的距离的平方，即zmin＝＝.
题型三 基本不等式的应用
例3 (1)已知x2＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，则x＋y的最小值是( )
A. B．3 C．1 D．2
答案 A
解析 由x2＋4xy－3＝0，得y＝，
即有x＋y＝x＋＝.
∵x>0，∴x＋≥2，即x＋y≥，
当且仅当x＝，即x＝1，y＝时，x＋y取得最小值.
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则·c＋的最小值为______．
答案 4＋2
解析 ∵＝＝
＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴·c＋≥2c＋
＝2(c－1)＋＋2
≥2＋2＝4＋2，
当且仅当2(c－1)＝，即c＝1＋时，等号成立．
综上，所求最小值为4＋2.
思维升华 利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．
跟踪训练3 (1)已知xy＝1，且0
答案 A
解析 由xy＝1且0，
所以x－2y>0.
＝＝x－2y＋≥4，
当且仅当x＝＋1，y＝时等号成立．
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，
解得－≤x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取得最大值)，∴x＋y的最大值为.
题型四 绝对值不等式的应用
例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a∈R，则“a≤9”是“2|x－2|＋|5＋2x|
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 2|x－2|＋|5＋2x|＝|2x－4|＋|5＋2x|
≥|2x－4－5－2x|＝9，
若2|x－2|＋|5＋2x|
答案 2
解析 |acos2x＋bsin x＋c|≤1，
即|asin2x－bsin x－(a＋c)|≤1，
分别取sin x＝1，－1,0，可知
所以|a＋b|＝|(a＋c)＋(b－c)|≤|a＋c|＋|b－c|≤2，
且|a－b|＝|(a＋c)－(b＋c)|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2.
所以max{|asin x＋b|}＝max{|a＋b|，|a－b|}≤2，当a＝2，b＝0，c＝－1时，取等号．
思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．
(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正实数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)
解析 由|－x－5|＋|－x＋3|＋|－x－3|＋|－x＋5|＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|可知，函数f(x)为偶函数，当－3≤x≤3时，f(x)取最小值16－c.结合题意可得c≥16.由f(m)＝0得f(x)<0，即|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c<0，结合图象(图略)可知，解集为(－m，m)．
(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，3]
解析 当x∈(－∞，－1]时，
|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；
当x∈(－1,2)时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；
当x∈[2，＋∞)时，
|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，
综上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.
1．(2018·宁波期末)若a，b∈R，且a
C．a3>b3 D．a＋|b|>0
答案 B
解析 由a0，所以(a－1)·<(b－1)·，即>，故选B.
2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x的不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－7,7) B．(－3,3)
C．(－7,3) D．∅
答案 C
解析 不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，等价于(|x＋2|＋|x－a|)min<5，又因为|x＋2|＋|x－a|≥|(x＋2)－(x－a)|＝|2＋a|，所以|2＋a|<5，－5<2＋a<5，解得－7
A. B. C. D．2
答案 B
解析 由题意，M表示的平面区域是以A(0,1)，B(－1，－2)，C为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为×2×＝.
4．(2018·杭州质检)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 由2x＋y－3＝0，得2x＋y＝3，
所以＋＝(2x＋y)＝
≥＝3，当且仅当＝，即x＝y＝1时等号成立，故选B.
5．(2018·金华十校调研)设x，y∈R，下列不等式成立的是( )
A．1＋|x＋y|＋|xy|≥|x|＋|y| B．1＋2|x＋y|≥|x|＋|y|
C．1＋2|xy|≥|x|＋|y| D．|x＋y|＋2|xy|≥|x|＋|y|
答案 A
解析 对于选项B，令x＝100，y＝－100，不成立；对于选项C，令x＝100，y＝，不成立；对于选项D，令x＝，y＝－，不成立，故选A.
6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0>3，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 D
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z＝x－2y经过直线x＋m＝0与y－m＝0的交点时取得最大值，即zmax＝－m－2m＝－3m，则根据题意有－3m>3，即m<－1，故选D.
7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
答案 B
解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点A(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2a＋b－2＝0的距离，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.
8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax＋by＝1与不等式组表示的平面区域无公共点，则2a＋3b的取值范围是( )
A．(－7,1) B．(－3,5)
C．(－7,3) D．R
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域是以A(1,1)，B(－1,1)，C(0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；
因为直线ax＋by＝1与不等式组表示的平面区域无公共点，所以a，b满足
或故点(a，b)在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b的取值范围为(－7,3)，故选C.
9．(2019·诸暨期末)不等式－x2＋2x＋3<0的解集为________；不等式|3－2x|<1的解集为________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)
解析 依题意，不等式－x2＋2x＋3<0，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，因此不等式－x2＋2x＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x|<1得－1<3－2x<1,1
10．(2018·宁波期末)关于实数x的不等式x2－4x>＋3在[0,5]上有解，则实数a的取值范围为______________．
答案 (－∞，0)∪
解析 由x2－4x>＋3得x2－4x－3>，则问题等价于小于x2－4x－3在[0,5]上的最大值，又因为x2－4x－3＝(x－2)2－7，所以当x＝5时，x2－4x－3取得最大值2，所以<2，解得a<0或a>，所以a的取值范围为(－∞，0)∪.
11．(2018·嘉兴测试)已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，则不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集为______________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为________．
答案 3
解析 由题意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝
所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等价于或或
解得≤x≤3，
|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|
＝
|f(2x)|＋|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为3.
12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最大值是________．
答案
解析 设u＝，v＝，则问题转化为“已知正数u，v满足u＋2v＝1，求＋的最大值”．
＋＝3－
＝3－·[(u＋1)＋2(v＋1)]
＝3－≤3－(5＋4)＝.
当且仅当＝，即u＝v＝时，取等号．
13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为________．
答案 9－32
解析 将变形为
由|xy|≤知，|1－2z|≤，
即－≤1－2z≤，解得2－≤z≤－2.
所以xyz＝(1－2z)z＝－2z2＋z在[2－，－2]上的最小值为9－32.
14．(2018·宁波模拟)若6x2＋4y2＋6xy＝1，x，y∈R，则x2－y2的最大值为________．
答案
解析 方法一 设m＝x＋y，n＝x－y，则问题转化为“已知4m2＋mn＋n2＝1，求mn的最大值”．
由基本不等式，知1＝mn＋4m2＋n2≥mn＋4|mn|，所以－≤mn≤，当且仅当n＝2m，即x＝－3y时，取得最大值.
方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x≠0.
令z＝x2－y2＝
＝，设t＝，
则z＝，则(4z＋1)t2＋6zt＋6z－1＝0对t∈R有解．
当z＝－时，t＝－.
当z≠－时，Δ＝36z2－4(4z＋1)(6z－1)≥0，
解得－≤z≤.当t＝－＝－时取最大值．
方法三 1＝6x2＋4y2＋6××y≥6x2＋4y2－6×＝5x2－5y2，所以x2－y2≤，
当且仅当x＝－3y时取等号．
15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P是平面区域M：内的任意一点，则P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为________．
答案
解析 设平面区域M：为△ABO区域(包含边界)，由题意，|AO|＝1，|BO|＝，|AB|＝2，P到平面区域M的边界的距离之和d就是P到△ABO三边的距离之和，设P到边界AO，BO，AB的距离分别为a，b，c，则P(b，a)，由题意0≤a≤，0≤b≤1,0≤c＝(－a－b)≤，所以d＝a＋b＋c＝[a＋(2－)b＋]，从而d≥，当a＝b＝0时取等号．
如图，P为可行域内任意一点，过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，PP′⊥AB，过P′作P′E′⊥x轴，P′F′⊥y轴，则有PE＋PF＋PP′≤P′F′＋P′E′，由P(b，a)，
可得P′，
所以d＝a＋b＋c≤＋＝，又0≤a≤，0≤b≤1，则d≤，当a＝，b＝0时取等号，因此d的取值范围为.
16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a，b，c满足＋＝＋1，则的最小值是________．
答案
解析 由a，b，c为正数，且＋＝＋1得＋＝＋＋1，设m＝，n＝，则有m>0，n>0，上式转化为＋＝m＋n＋1，即＝m＋n＋1，又由基本不等式得m2＋n2≥，mn≤，所以m＋n＋1＝≥，令t＝m＋n，则t>0，上式转化为t＋1≥，即t2－t－4≥0，解得t≥，所以t＝m＋n＝＋＝的最小值为.
题型一 含参数不等式的解法
例1 解关于x的不等式x2＋ax＋1>0(a∈R)．
解 对于方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4.
(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2＝，
且x1
；
(2)当Δ＝0，即a＝±2时，
①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
(3)当Δ<0，即－2
(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
跟踪训练1 (1)若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．
∴－7×(－1)＝，故a＝3.
(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析 依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
题型二 线性规划问题
例2 (2018·浙江五校联考)已知实数x，y满足约束条件且z＝ax＋y的最大值为16，则实数a＝________，z的最小值为________．
答案 2 1
解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域)．目标函数z＝ax＋y对应直线ax＋y－z＝0的斜率k＝－a.
(1)当k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1时，目标函数在点A处取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值为5a＋6，即5a＋6＝16，解得a＝2.
(2)当k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1时，目标函数在点C处取得最大值，由解得C(0,1)，故z的最大值为0×a＋1＝1，不符合题意．
综上，a＝2.
数形结合知，当直线z＝2x＋y经过点C时，z取得最小值，zmin＝2×0＋1＝1.
思维升华
1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有
(1)截距型：如z＝－2x＋y，z＝，z＝·(其中M(x，y)为区域内动点，P(－2,1))，等等．
(2)距离型：如z＝(x－2)2＋y2，z＝|2x－y|，等等．
(3)斜率型：如z＝，z＝，z＝，z＝＋＝，等等．
(4)二次曲线型：如z＝xy，z＝，z＝＋y2，等等．
3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．
跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围为( )
A．(－6，－1) B．(－8，－2)
C．(－1,8) D．(－2,6)
答案 D
解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y＝2x，平移直线，直线z＝2x－y在点B(－1,0)处的取最小值为－2，在点C(3,0)处的取最大值为6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)．
方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z＝2x－y求值，得0，－2,6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)．
(2)若x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为________，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值为________．
答案 30
解析 作出表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为×5×2＋×10×5＝30.
z＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最小值为点M(－1,1)到直线2x－y＝0的距离的平方，即zmin＝＝.
题型三 基本不等式的应用
例3 (1)已知x2＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，则x＋y的最小值是( )
A. B．3 C．1 D．2
答案 A
解析 由x2＋4xy－3＝0，得y＝，
即有x＋y＝x＋＝.
∵x>0，∴x＋≥2，即x＋y≥，
当且仅当x＝，即x＝1，y＝时，x＋y取得最小值.
(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则·c＋的最小值为______．
答案 4＋2
解析 ∵＝＝
＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴·c＋≥2c＋
＝2(c－1)＋＋2
≥2＋2＝4＋2，
当且仅当2(c－1)＝，即c＝1＋时，等号成立．
综上，所求最小值为4＋2.
思维升华 利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．
跟踪训练3 (1)已知xy＝1，且0
答案 A
解析 由xy＝1且0
所以x－2y>0.
＝＝x－2y＋≥4，
当且仅当x＝＋1，y＝时等号成立．
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，
解得－≤x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取得最大值)，∴x＋y的最大值为.
题型四 绝对值不等式的应用
例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a∈R，则“a≤9”是“2|x－2|＋|5＋2x|
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 2|x－2|＋|5＋2x|＝|2x－4|＋|5＋2x|
≥|2x－4－5－2x|＝9，
若2|x－2|＋|5＋2x|
答案 2
解析 |acos2x＋bsin x＋c|≤1，
即|asin2x－bsin x－(a＋c)|≤1，
分别取sin x＝1，－1,0，可知
所以|a＋b|＝|(a＋c)＋(b－c)|≤|a＋c|＋|b－c|≤2，
且|a－b|＝|(a＋c)－(b＋c)|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2.
所以max{|asin x＋b|}＝max{|a＋b|，|a－b|}≤2，当a＝2，b＝0，c＝－1时，取等号．
思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．
(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正实数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)
解析 由|－x－5|＋|－x＋3|＋|－x－3|＋|－x＋5|＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|可知，函数f(x)为偶函数，当－3≤x≤3时，f(x)取最小值16－c.结合题意可得c≥16.由f(m)＝0得f(x)<0，即|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c<0，结合图象(图略)可知，解集为(－m，m)．
(2)不等式|x－2|＋|x＋1|≥a对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，3]
解析 当x∈(－∞，－1]时，
|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；
当x∈(－1,2)时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；
当x∈[2，＋∞)时，
|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，
综上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.
1．(2018·宁波期末)若a，b∈R，且a
C．a3>b3 D．a＋|b|>0
答案 B
解析 由a
2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x的不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－7,7) B．(－3,3)
C．(－7,3) D．∅
答案 C
解析 不等式|x＋2|＋|x－a|<5有解，等价于(|x＋2|＋|x－a|)min<5，又因为|x＋2|＋|x－a|≥|(x＋2)－(x－a)|＝|2＋a|，所以|2＋a|<5，－5<2＋a<5，解得－7
A. B. C. D．2
答案 B
解析 由题意，M表示的平面区域是以A(0,1)，B(－1，－2)，C为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为×2×＝.
4．(2018·杭州质检)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则＋的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 由2x＋y－3＝0，得2x＋y＝3，
所以＋＝(2x＋y)＝
≥＝3，当且仅当＝，即x＝y＝1时等号成立，故选B.
5．(2018·金华十校调研)设x，y∈R，下列不等式成立的是( )
A．1＋|x＋y|＋|xy|≥|x|＋|y| B．1＋2|x＋y|≥|x|＋|y|
C．1＋2|xy|≥|x|＋|y| D．|x＋y|＋2|xy|≥|x|＋|y|
答案 A
解析 对于选项B，令x＝100，y＝－100，不成立；对于选项C，令x＝100，y＝，不成立；对于选项D，令x＝，y＝－，不成立，故选A.
6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0>3，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 D
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z＝x－2y经过直线x＋m＝0与y－m＝0的交点时取得最大值，即zmax＝－m－2m＝－3m，则根据题意有－3m>3，即m<－1，故选D.
7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
答案 B
解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点A(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2a＋b－2＝0的距离，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.
8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax＋by＝1与不等式组表示的平面区域无公共点，则2a＋3b的取值范围是( )
A．(－7,1) B．(－3,5)
C．(－7,3) D．R
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域是以A(1,1)，B(－1,1)，C(0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；
因为直线ax＋by＝1与不等式组表示的平面区域无公共点，所以a，b满足
或故点(a，b)在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b的取值范围为(－7,3)，故选C.
9．(2019·诸暨期末)不等式－x2＋2x＋3<0的解集为________；不等式|3－2x|<1的解集为________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)
解析 依题意，不等式－x2＋2x＋3<0，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，因此不等式－x2＋2x＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x|<1得－1<3－2x<1,1
10．(2018·宁波期末)关于实数x的不等式x2－4x>＋3在[0,5]上有解，则实数a的取值范围为______________．
答案 (－∞，0)∪
解析 由x2－4x>＋3得x2－4x－3>，则问题等价于小于x2－4x－3在[0,5]上的最大值，又因为x2－4x－3＝(x－2)2－7，所以当x＝5时，x2－4x－3取得最大值2，所以<2，解得a<0或a>，所以a的取值范围为(－∞，0)∪.
11．(2018·嘉兴测试)已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，则不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集为______________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为________．
答案 3
解析 由题意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝
所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等价于或或
解得≤x≤3，
|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|
＝
|f(2x)|＋|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为3.
12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最大值是________．
答案
解析 设u＝，v＝，则问题转化为“已知正数u，v满足u＋2v＝1，求＋的最大值”．
＋＝3－
＝3－·[(u＋1)＋2(v＋1)]
＝3－≤3－(5＋4)＝.
当且仅当＝，即u＝v＝时，取等号．
13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为________．
答案 9－32
解析 将变形为
由|xy|≤知，|1－2z|≤，
即－≤1－2z≤，解得2－≤z≤－2.
所以xyz＝(1－2z)z＝－2z2＋z在[2－，－2]上的最小值为9－32.
14．(2018·宁波模拟)若6x2＋4y2＋6xy＝1，x，y∈R，则x2－y2的最大值为________．
答案
解析 方法一 设m＝x＋y，n＝x－y，则问题转化为“已知4m2＋mn＋n2＝1，求mn的最大值”．
由基本不等式，知1＝mn＋4m2＋n2≥mn＋4|mn|，所以－≤mn≤，当且仅当n＝2m，即x＝－3y时，取得最大值.
方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x≠0.
令z＝x2－y2＝
＝，设t＝，
则z＝，则(4z＋1)t2＋6zt＋6z－1＝0对t∈R有解．
当z＝－时，t＝－.
当z≠－时，Δ＝36z2－4(4z＋1)(6z－1)≥0，
解得－≤z≤.当t＝－＝－时取最大值．
方法三 1＝6x2＋4y2＋6××y≥6x2＋4y2－6×＝5x2－5y2，所以x2－y2≤，
当且仅当x＝－3y时取等号．
15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P是平面区域M：内的任意一点，则P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为________．
答案
解析 设平面区域M：为△ABO区域(包含边界)，由题意，|AO|＝1，|BO|＝，|AB|＝2，P到平面区域M的边界的距离之和d就是P到△ABO三边的距离之和，设P到边界AO，BO，AB的距离分别为a，b，c，则P(b，a)，由题意0≤a≤，0≤b≤1,0≤c＝(－a－b)≤，所以d＝a＋b＋c＝[a＋(2－)b＋]，从而d≥，当a＝b＝0时取等号．
如图，P为可行域内任意一点，过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，PP′⊥AB，过P′作P′E′⊥x轴，P′F′⊥y轴，则有PE＋PF＋PP′≤P′F′＋P′E′，由P(b，a)，
可得P′，
所以d＝a＋b＋c≤＋＝，又0≤a≤，0≤b≤1，则d≤，当a＝，b＝0时取等号，因此d的取值范围为.
16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a，b，c满足＋＝＋1，则的最小值是________．
答案
解析 由a，b，c为正数，且＋＝＋1得＋＝＋＋1，设m＝，n＝，则有m>0，n>0，上式转化为＋＝m＋n＋1，即＝m＋n＋1，又由基本不等式得m2＋n2≥，mn≤，所以m＋n＋1＝≥，令t＝m＋n，则t>0，上式转化为t＋1≥，即t2－t－4≥0，解得t≥，所以t＝m＋n＝＋＝的最小值为.
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