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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义:第二章 不等式2.2
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§2.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.
2.会解一元二次不等式.
以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想,分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根x1,x2
(x1
有两相等实根x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x∈R}
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1< x
∅
∅
概念方法微思考
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?
提示 ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )
题组二 教材改编
2.[P80A组T4]已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于( )
A.{x|-2
C.{x|x<-2}∪{x|x>3} D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}
答案 B
解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.
故选B.
3.[P80A组T2]y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________________.
答案 ∪
解析 由题意,得3x2-2x-2>0,
令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>0的解集为∪.
题组三 易错自纠
4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,
得-4
5.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=________.
答案 -14
解析 由题意可知,x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
∴解得∴a+b=-14.
6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-2,2]
C.(-2,2) D.(-∞,2)
答案 B
解析 由解得-2 另a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立,
∴-2
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 已知集合A={x|x2-x-2<0},B={y|y=2x},则A∩B等于( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(0,1) D.(0,2)
答案 D
解析 由题意得A={x|x2-x-2<0}={x|-10},
∴ A∩B={x|0
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以(x-1)<0.
所以当a>1时,解为
当a=1时,解集为∅;
当0 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论:①根据二次项系数为正、负及零进行分类.②根据判别式Δ判断根的个数.③有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 解不等式12x2-ax>a2(a∈R).
解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
解 当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.
当m≠0时,则即-4
综上,-4
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
解 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
所以m<,所以0
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
方法二 因为x2-x+1=2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以m的取值范围是.
引申探究
1.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?
解 若f(x)<5-m无解,即f(x)≥5-m恒成立,
即m≥恒成立,则m≥max,
又x∈[1,3],得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞).
2.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围.
解 由题意知f(x)<5-m有解,
即m<有解,则m
又x∈[1,3],得m<6,即m的取值范围为(-∞,6).
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,
则即
解得
故x的取值范围为.
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
跟踪训练2 函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,
分如下三种情况讨论(如图所示):
①如图①,当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时,
有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
②如图②,g(x)的图象与x轴有2个交点,
但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,
即 即
可得 解得a∈∅.
③如图③,g(x)的图象与x轴有2个交点,
但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0.
即 即
可得 ∴-7≤a<-6,
综上,实数a的取值范围是[-7,2].
(3)令h(a)=xa+x2+3.
当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤-3-或x≥-3+.
∴实数x的取值范围是
(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).
1.已知集合A={x|x≥0},B={x|(x+1)(x-5)<0},则A∩B等于( )
A.[-1,4) B.[0,5)
C.[1,4] D.[-4,-1)∪ [4,5)
答案 B
解析 由题意得B={x|-1
2.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10的解集为( )
A. B.
C.{x|-21}
答案 A
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10,解得,故选A.
3.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0) B.[-3,0] C.[-3,0) D.(-3,0]
答案 A
解析 由题意可得
解得-3
4.若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )
A.(13,+∞) B.(5,+∞)
C.(4,+∞) D.(-∞,13)
答案 B
解析 m>x2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],当x=2时,f(x)min=5,存在x∈[2,4]使x2-2x+5-m<0成立,即m>f(x)min,∴m>5.故选B.
5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )
A.[-4,1] B.[-4,3]
C.[1,3] D.[-1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解集为{x|x=1},此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 6.(2018·浙江宁波十校适应性测试)当x∈(a,b]时,不等式≤1恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-2,3) B.(-2,3]
C.(-2,3) D.{-2}
答案 A
解析 由≤1,得-1=≤0,解得-2
7.若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为______.
答案
解析 若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以
Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元,销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售单价的取值范围是________.
答案 (12,16)
解析 设售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,解得12
所以每件售价应定为12元到16元之间.
9.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为________.
答案 [-5,+∞)
解析 由题意,分离参数后得,a≥-.
设f(x)=-,x∈(0,1],
则只要a≥[f(x)]max即可.
由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,
所以[f(x)]max=f(1)=-5,故a≥-5.
10.设a∈R,若x∈[1,2]时,均有(x-a)(x2+2a)<0,则a的取值范围是__________________.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 当a≥0时,x2+2a>0,即当x∈[1,2]时,均有x2.
当a<0时,x-a>0,即当x∈[1,2]时,均有x2+2a<0,
则(x2+2a)max<0,即4+2a<0,得a<-2.
综上可得,a>2或a<-2.
11.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,
即a2-6a-3<0,解得3-2 ∴原不等式的解集为{a|3-2 (2)∵f(x)>b的解集为(-1,3),
∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
∴
解得
12.(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)=x2-2ax-3a2.
(1)设a=1,解不等式f(x)>0;
(2)若不等式f(x)
(3)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.
解 (1)当a=1时,不等式f(x)>0,即x2-2x-3>0,
解得x>3或x<-1.
故当a=1时,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
(2)f(x)-x=x2-(2a+1)x-3a2,
令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,
若a=0,则f(x)
若a≠0,由g(0)=-3a2<0知x=0是不等式f(x)
综上,a的取值范围为.
(3)若 即得<a≤;
若a>1,因为|f(a)|=4a2,|f(4a)|=5a2,
所以由得此不等式的解集为∅.
综上,a的取值范围是.
13.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为__________.
答案 [-8,4]
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由一元二次不等式的性质可知,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
14.已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4](x2
答案 4
解析 如图,据题意可知x1,x4是方程x2+bx+c=4的两根,x2,x3是方程x2+bx+c=0的两根.由根与系数的关系可得(2x4-x3)-(2x1-x2)=2(x4-x1)-(x3-x2)
=2-
=2-,令b2-4c=t,
则有(2x4-x3)-(2x1-x2)=f(t)=2-,
令f′(t)=-=0,解得t=,
当0
当t>时,f′(t)>0,f(t)单调递增.
据题意可知f(t)min=f=4.
15.(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2-a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则2a+b的最小值为________.
答案 0
解析 要使2a+b取得最小值,尽量考虑a,b取负值的情况,因此当a0,与b≤0矛盾;
当a<0 则b≥-2a,即2a+b≥0,此时2a+b的最小值为0;
当0≤a0.
综上可知,2a+b的最小值为0.
16.(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2-a,若集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.
解 ∵集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,
故方程f(x)=x2-(a+2)x+2-a=0有两个实根,
即Δ=(a+2)2-4(2-a)>0,亦即a2+8a-4>0,
方程x2-(a+2)x+2-a=0的根为
x1=,x2=.
又∵f(0)=2-a,若f(0)=2-a<0,
则a>2,此时x2=>1,
则集合A={x∈N|f(x)<0}中至少有两个元素0,1,不符合题意;
故f(0)=2-a≥0,a≤2,
此时要使集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,
需满足即
解得
最新考纲
考情考向分析
1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.
2.会解一元二次不等式.
以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想,分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根x1,x2
(x1
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x
{x|x∈R}
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1< x
∅
概念方法微思考
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?
提示 ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )
题组二 教材改编
2.[P80A组T4]已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于( )
A.{x|-2
答案 B
解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.
故选B.
3.[P80A组T2]y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________________.
答案 ∪
解析 由题意,得3x2-2x-2>0,
令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>0的解集为∪.
题组三 易错自纠
4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,
得-4
答案 -14
解析 由题意可知,x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
∴解得∴a+b=-14.
6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-2,2]
C.(-2,2) D.(-∞,2)
答案 B
解析 由解得-2 另a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立,
∴-2
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 已知集合A={x|x2-x-2<0},B={y|y=2x},则A∩B等于( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(0,1) D.(0,2)
答案 D
解析 由题意得A={x|x2-x-2<0}={x|-1
∴ A∩B={x|0
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以(x-1)<0.
所以当a>1时,解为
当0 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>1时,不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论:①根据二次项系数为正、负及零进行分类.②根据判别式Δ判断根的个数.③有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 解不等式12x2-ax>a2(a∈R).
解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为∪;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
解 当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.
当m≠0时,则即-4
例4 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
解 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
所以m<,所以0
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
方法二 因为x2-x+1=2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以m的取值范围是.
引申探究
1.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?
解 若f(x)<5-m无解,即f(x)≥5-m恒成立,
即m≥恒成立,则m≥max,
又x∈[1,3],得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞).
2.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围.
解 由题意知f(x)<5-m有解,
即m<有解,则m
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.
解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,
则即
解得
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
跟踪训练2 函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
∴实数a的取值范围是[-6,2].
(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,
分如下三种情况讨论(如图所示):
①如图①,当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时,
有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.
②如图②,g(x)的图象与x轴有2个交点,
但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,
即 即
可得 解得a∈∅.
③如图③,g(x)的图象与x轴有2个交点,
但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0.
即 即
可得 ∴-7≤a<-6,
综上,实数a的取值范围是[-7,2].
(3)令h(a)=xa+x2+3.
当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤-3-或x≥-3+.
∴实数x的取值范围是
(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).
1.已知集合A={x|x≥0},B={x|(x+1)(x-5)<0},则A∩B等于( )
A.[-1,4) B.[0,5)
C.[1,4] D.[-4,-1)∪ [4,5)
答案 B
解析 由题意得B={x|-1
A. B.
C.{x|-2
答案 A
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1
3.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0) B.[-3,0] C.[-3,0) D.(-3,0]
答案 A
解析 由题意可得
解得-3
A.(13,+∞) B.(5,+∞)
C.(4,+∞) D.(-∞,13)
答案 B
解析 m>x2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],当x=2时,f(x)min=5,存在x∈[2,4]使x2-2x+5-m<0成立,即m>f(x)min,∴m>5.故选B.
5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )
A.[-4,1] B.[-4,3]
C.[1,3] D.[-1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解集为{x|x=1},此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 6.(2018·浙江宁波十校适应性测试)当x∈(a,b]时,不等式≤1恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-2,3) B.(-2,3]
C.(-2,3) D.{-2}
答案 A
解析 由≤1,得-1=≤0,解得-2
答案
解析 若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以
Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元,销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售单价的取值范围是________.
答案 (12,16)
解析 设售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,
即x2-28x+192<0,解得12
9.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为________.
答案 [-5,+∞)
解析 由题意,分离参数后得,a≥-.
设f(x)=-,x∈(0,1],
则只要a≥[f(x)]max即可.
由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,
所以[f(x)]max=f(1)=-5,故a≥-5.
10.设a∈R,若x∈[1,2]时,均有(x-a)(x2+2a)<0,则a的取值范围是__________________.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 当a≥0时,x2+2a>0,即当x∈[1,2]时,均有x2.
当a<0时,x-a>0,即当x∈[1,2]时,均有x2+2a<0,
则(x2+2a)max<0,即4+2a<0,得a<-2.
综上可得,a>2或a<-2.
11.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,
即a2-6a-3<0,解得3-2 ∴原不等式的解集为{a|3-2 (2)∵f(x)>b的解集为(-1,3),
∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
∴
解得
12.(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)=x2-2ax-3a2.
(1)设a=1,解不等式f(x)>0;
(2)若不等式f(x)
解 (1)当a=1时,不等式f(x)>0,即x2-2x-3>0,
解得x>3或x<-1.
故当a=1时,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
(2)f(x)-x=x2-(2a+1)x-3a2,
令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,
若a=0,则f(x)
(3)若 即得<a≤;
若a>1,因为|f(a)|=4a2,|f(4a)|=5a2,
所以由得此不等式的解集为∅.
综上,a的取值范围是.
13.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为__________.
答案 [-8,4]
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由一元二次不等式的性质可知,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
14.已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4](x2
解析 如图,据题意可知x1,x4是方程x2+bx+c=4的两根,x2,x3是方程x2+bx+c=0的两根.由根与系数的关系可得(2x4-x3)-(2x1-x2)=2(x4-x1)-(x3-x2)
=2-
=2-,令b2-4c=t,
则有(2x4-x3)-(2x1-x2)=f(t)=2-,
令f′(t)=-=0,解得t=,
当0
据题意可知f(t)min=f=4.
15.(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2-a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则2a+b的最小值为________.
答案 0
解析 要使2a+b取得最小值,尽量考虑a,b取负值的情况,因此当a0,与b≤0矛盾;
当a<0 则b≥-2a,即2a+b≥0,此时2a+b的最小值为0;
当0≤a0.
综上可知,2a+b的最小值为0.
16.(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2-a,若集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.
解 ∵集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,
故方程f(x)=x2-(a+2)x+2-a=0有两个实根,
即Δ=(a+2)2-4(2-a)>0,亦即a2+8a-4>0,
方程x2-(a+2)x+2-a=0的根为
x1=,x2=.
又∵f(0)=2-a,若f(0)=2-a<0,
则a>2,此时x2=>1,
则集合A={x∈N|f(x)<0}中至少有两个元素0,1,不符合题意;
故f(0)=2-a≥0,a≤2,
此时要使集合A={x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素,
需满足即
解得
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