2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章　不等式2.4

§2.4　基本不等式及其应用
最新考纲
考情考向分析
掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其应用.
理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．常在解答题中考查，难度为中档.



1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
概念方法微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P100A组T1]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77 C．81 D．82
答案　C
解析　∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
3．[P100A组T2]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m,0 ∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
题组三　易错自纠
4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当x>0时，x＋≥2＝2.
因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.
5．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·
＝
≥(4＋9＋2)＝5，
当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，
故4x＋3y的最小值为5.故选D.
6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为________．
答案　0
解析　因为2＝2a＋4b≥2，当且仅当a＝b＝0时等号成立，所以a＋2b≤0，即a＋2b的最大值为0.


题型一　利用基本不等式求最值

命题点1　配凑法
例1 (1)已知0 答案　
解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)
≤·2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
(2)(2019·台州质检)当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为________．
答案　4
解析　因为当x>0，a>0时，x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝时，等号成立，又x＋(a>0)的最小值为3，所以2－1＝3，解得a＝4.
命题点2　常数代换法
例2 (2018·浙江部分重点中学调研)已知a>0，b>0，且满足a＋2b＝2.若不等式abt＋(t－2)a－b≤1恒成立，则实数t的取值范围是________．
答案　
解析　因为对于任意的a>0，b>0，a＋2b＝2，不等式abt＋(t－2)a－b≤1恒成立，即＋≥t恒成立．因为＋＝＝＋＋≥＋1＝，当且仅当＝，即a＝b＋1＝，b＝时，取到最小值，所以t≤.
命题点3　消元法
例3 已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值3 D．有最大值3
答案　B
解析　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，
∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b>0，∴≤，
∴－≥－，
∴u＝＝3－≥3－
＝3－≥3－＝，
当且仅当a＝2，b＝8时取等号．故选B.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．
跟踪训练1 (1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由x2＋2xy－1＝0，得y＝－，所以2x＋y＝2x＋－＝x＋＝×≥ ＝，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，此时y＝，符合题意，所以2x＋y的最小值为，故选D.
(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x，y>0，且x＋y＋＋＝，则－的最小值是________．
答案　－
解析　因为x＋y＋＋＝，所以－＝－＋x＋y＋＋－＝x＋＋y＋－≥－＝－，当且仅当x＝，y＝，即x＝2，y＝时，取等号．

题型二　基本不等式的综合应用

命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　)
A．3 B．4 C. D.
答案　A
解析　∵＝＋

＝＋
＝＋＝＋，
∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝＋＋＋
≥＋2
＝＋＝3，
当且仅当m＝n＝1时等号成立．
命题点2　求参数值或取值范围
例5 (2018·杭州七校联考)设x，y是正实数，若不等式＋≤a≤＋恒成立，则实数a的值是________．
答案　
解析　令t＝>0，则＋＝＋＝＋＝－＋＝＋＝＋＝＋≤＋＝，当且仅当t＝1，即x＝y时，取等号，所以a≥.又＋＝＋＝＋＝－＋1＝＋1＝1－＝1－≥1－＝，当且仅当t＝1，即x＝y时，取等号，所以a≤.综上，a＝.


跟踪训练2 (2018·金华名校统练)已知正实数x，y满足x－y>0，x＋y－2≤0，若m≤＋恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　＋＝×≥·＝
·＝
≥＝，
当且仅当x＋y＝2，＝时取等号，
此时x＝2－1，y＝3－2，符合题意，
所以＋的最小值为，即m≤.

利用基本不等式求解实际问题
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，
∴x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，
即m＝3(万元)时，
ymax＝21(万元)．
故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
素养提升　利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．


1．函数f(x)＝的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.
2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
答案　C
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号．
故“x＝2且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C.
3．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)
A. B．3 C．5 D．9
答案　D
解析　由题意知，正数a，b满足a＋b＝1，
则＋＝(a＋b)
＝4＋1＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以＋的最小值为9，故选D.
4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
5．(2018·杭州模拟)若实数x，y，z满足2x＋2y＝2x＋y,2x＋2y＋2z＝2x＋y＋z，则z的最大值为(　　)
A．2－log23 B．2＋log23
C. D．log23
答案　A
解析　因为2x＋y＝2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y时取等号)，所以2x＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x＋y＋z，所以2x＋y＋2z＝2x＋y·2z，所以2z＝＝1＋，由2x＋y≥4得2z的最大值为，从而z的最大值为2－log23.
6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x＋y＝＋＋8(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A．5 B．9 C．4＋ D．10
答案　B
解析　由题意可知(x＋y)2＝(x＋y)＝5＋8(x＋y)＋，由基本不等式可知＋≥2＝4(当且仅当y＝2x时取等号)，令t＝x＋y(t>0)，则t2≥5＋8t＋4，即t2－8t－9＝(t－9)·(t＋1)≥0，得t≥9，从而当x＝3，y＝6时，x＋y取得最小值，最小值为9，故选B.
7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋ ＝x＋y，则＋的最小值为(　　)

A. B．2 C. D.
答案　D
解析　设＝m＋n，＝λ＋μ，
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，
∵＋＝x＋y＝＋，
则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，
∴＋＝＝≥＝，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
故＋的最小值为，故选D.
8．(2018·湖州五校模拟)已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(　　)
A.－6 B.＋6
C．2＋6 D．2－6
答案　D
解析　方法一　∵x2－3xy＋2y2＝(x－y)(x－2y)＝1，∴可设x－y＝t，x－2y＝(t≠0)，∴x＝2t－，y＝t－，代入所求式子得x2＋y2＝2＋2＝5t2＋－6≥2－6，当且仅当5t2＝时等号成立，
∴x2＋y2的最小值为2－6.
方法二　设x2＋y2＝t2，x＝tcos θ，y＝tsin θ，代入已知等式得，t2cos2θ－3t2sin θcos θ＋2t2sin2θ＝1，
∴＝cos2θ－3sin θcos θ＋2sin2θ＝1－sin 2θ＋＝－(3sin 2θ＋cos 2θ)＝－×·sin(2θ＋φ)≤，其中sin φ＝，cos φ＝.
∴t2≥＝2－6，
∴x2＋y2的最小值为2－6.
9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x，y满足2x＋y＝2，则当x＝________时，－y取得最小值为________．
答案　　2－2
解析　因为x，y为正数，则2x＋y＝2⇒y＝2－2x>0⇒0 10．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________．
答案　2
解析　由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，
代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，
两边同除以(ab)2得2＝＋
＝4≥4·2＝8，
当且仅当ab＝1时取等号．
所以＋≥2，
即＋的最小值为2.
11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．
答案　18
解析　∵2m＋n≥2，∴mn＝2m＋n＋6≥2＋6，即mn≥2＋6，令t＝>0，则t2≥2t＋6，解得t≤－2或t≥6，又t>0，∴t≥6，即≥6，∴mn≥18，当且仅当2m＝n＝6时，等号成立，故mn的最小值为18.
12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，则z的最小值是________．
答案　－
解析　因为1－9z2＝(x＋2y)2－2·x·2y≥(x＋2y)2－22，又x＋2y＝1－3z，则1－9z2≥(1－3z)2，解得－≤z≤，即z的最小值为－.

13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x，y满足x＋2y＋3＝xy，且对任意的实数x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D.
答案　A
解析　因为x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，所以x＋y－3>0，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋≥a.令t＝x＋y－3，t>0，则f(t)＝t＋≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增．
方法一　等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，令m＝x－2，n＝y－1，则m>0，n>0，且mn＝5，则t＝m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋，y＝1＋时等号成立，故f(t)≥f(2)＝2＋＝，所以a≤.
方法二　x＋2y＋3＝xy可化为y＝1＋(x>2)，故直线x＋y－3－t＝0与函数y＝1＋(x>2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y′＝＝－1，得x＝2＋，y＝1＋，此时，t＝2，数形(图略)结合可知当t≥2时，符合题意，故f(t)≥f(2)＝2＋＝，所以a≤.

14．对任意实数x>1，y>，不等式＋≥1恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．2 B．4 C. D．2
答案　D
解析　依题意得a2≤＋.
令x－1＝m>0,2y－1＝n>0，
则＋＝＋≥＋＝＋≥2 ＝8，
即＋≥8，
当且仅当m＝n＝1时取等号，
因此＋的最小值是8，
从而a2≤8，－2≤a≤2，且a≠0，
故实数a的最大值是2.

15．(2018·宁波模拟)已知x，y均为非负实数，且x＋y≤1，则4x2＋4y2＋(1－x－y)2的取值范围为(　　)
A. B．[1,4]
C．[2,4] D．[2,9]
答案　A
解析　因为x≥0，y≥0，所以≤x2＋y2≤(x＋y)2，则4x2＋4y2＋(1－x－y)2＝4(x2＋y2)＋[1－(x＋y)]2≤4(x＋y)2＋[1－(x＋y)]2＝5(x＋y)2－2(x＋y)＋1，又因为0≤x＋y≤1，所以4x2＋4y2＋(1－x－y)2≤5(x＋y)2－2(x＋y)＋1≤4，当且仅当xy＝0且x＋y＝1，即或时，等号成立；另一方面4x2＋4y2＋(1－x－y)2＝4(x2＋y2)＋[1－(x＋y)]2≥2(x＋y)2＋[1－(x＋y)]2＝3(x＋y)2－2(x＋y)＋1，又因为0≤x＋y≤1，所以4x2＋4y2＋(1－x－y)2≥3(x＋y)2－2(x＋y)＋1≥，当且仅当x＝y且x＋y＝，即x＝y＝时，等号成立．综上所述，4x2＋4y2＋(1－x－y)2∈，故选A.
16．(2018·杭州学军中学模拟)若x，y∈R满足2sin2(x＋y－1)＝，则xy的最小值为________．
答案　
解析　2sin2(x＋y－1)＝＝＝＝x－y＋1＋，又因为2sin2(x＋y－1)∈[0,2]，x－y＋1＋≥2或x－y＋1＋≤－2，所以x－y＋1＋＝2，此时即则2x－1＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋＋，k∈Z，则xy＝x2＝2，k∈Z，所以当k＝－1时，xy＝2取得最小值.