2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第7讲对数与对数函数学案

第7讲　对数与对数函数

1．对数

2.对数函数的图象与性质

3.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

1．换底公式的三个重要结论

①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.

2．对数函数图象的特点

(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．

(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．

(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．

常见误区

1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.

2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．

3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)

(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)

(4)若M>N>0，则logaM>logaN.(　　)

(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2．log29·log34＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．2 D．4

解析：选D.原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.

3．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　)

解析：选C.函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.

4．(易错题)函数f(x)＝＋的定义域为________．

解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．

答案：(－1，0)∪(0，2]

5．(易错题)函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．

解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝.

答案：2或

　　　　　　对数式的化简与求值

[题组练透]

1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

解析：选B.方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.

方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B.

方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.

方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B.

方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B.

方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B.

2．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．

解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.

答案：

3．计算：

(1)÷100－；

(2).

解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

(2)原式＝

＝

＝

＝

＝＝1.

[提醒]　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．　

　　　　　　对数函数的图象及应用

(1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．

【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象大致为选项B.

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，

当a>1时不满足条件，

当0<a<1时，

画出两个函数在上的图象，

可知，只需两图象在上有交点即可，

则f≥g，

即2≥loga，则a≤，

所以a的取值范围为.

【答案】　(1)B　(2)

对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　

函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)

解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.

　　　　　　对数函数的性质及应用

角度一　比较对数值的大小

(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)

A．a<c<b B．a<b<c

C．b<c<a D．c<a<b

【解析】　因为23<32，所以2<3，所以log32<log33＝，所以a<c.因为33>52，所以3>5，所以log53>log55＝，所以b>c，所以a<c<b，故选A.

【答案】　A

比较对数值的大小的方法

角度二　解简单的对数不等式或方程

(1)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是________．

(2)设函数f(x)＝若f(a)<f(－a)，则实数a的取值范围是________．

【解析】　(1)由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)>0的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．

(2)由f(a)<f(－a)得或

即或

解得0<a<1或a<－1.

【答案】　(1)(－1，0)∪(1，＋∞)

(2)(－∞，－1)∪(0，1)

解对数不等式的函数及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；

(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　

角度三　对数型函数的综合问题

(1)(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)

A．f(x)在(2，6)上单调递增

B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2

C．f(x)在(2，6)上单调递减

D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称

(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)

A．[1，2) B．[1，2]

C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

【解析】　(1)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.

(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．

【答案】　(1)BD　(2)A

解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

1．(2020·苏州模拟)已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)

A．[0，2) B．(0，＋∞)

C．(0，2) D．[0，＋∞)

解析：选B.f(x)＝log2(1＋2－x)，因为1＋2－x>1，

所以log2(1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.

2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)

解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．

答案：<

3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，

则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，

且y＝ax2－x>0恒成立，

即解得a>.

答案：

思想方法系列5　换元法的应用

换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．

若x，y，z∈R＋，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值是(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．3

C．4 D．5

【解析】　设3x＝4y＝12z＝t(t>1)，

则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，

所以＝＝＋

＝log312＋log412

＝2＋log34＋log43.

因为1<log34<2，0<log43<1，

所以1<log34＋log43<3.

又log34＋log43>2＝2，

所以4<2＋log34＋log43<5，

即∈(4，5)．

所以n＝4.

【答案】　C

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何中计算等．　

函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．　

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.

答案：－