2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第一章第四节　基本不等式

第四节　基本不等式

突破点一　利用基本不等式求最值

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值为4.(　　)

(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、填空题

1．当x>0时，函数f(x)＝的最大值为________．

答案：1

2．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．

解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．

答案：2　

3．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

解析：∵a，b∈R，ab>0，

∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，

当且仅当即时取得等号．

答案：4

4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．

答案：

考法一　通过拼凑法利用基本不等式求最值　

利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

[例1]　(1)(2019·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.          B. 

C.          D.

(2)(2019·南昌调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．

[解析]　(1)∵0<x<1，

∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.

当且仅当x＝1－x，

即x＝时等号成立．

(2)∵x>2，m>0，

∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，

当且仅当x＝2＋时取等号，

又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，

∴2＋2＝6，解得m＝4.

[答案]　(1)B　(2)4

[方法技巧]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　

考法二　通过常数代换法利用基本不等式求最值

[例2]　(1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．

(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有＋≥m恒成立，则m的最大值是________．

[解析]　(1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当x＝，y＝时取等号，

∴＋的最小值为8，

又＋≥m恒成立，

∴m≤8，即m的最大值为8.

[答案]　(1)4　(2)8

[方法技巧]

通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．　　

1.已知x<0，则函数y＝＋x的最大值是________．

解析：∵x<0，∴y＝－≤－4，当且仅当x＝－2时取等号．

答案：－4

2.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：因为a>0，b>0，＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.

答案：[6，＋∞)

突破点二　基本不等式的实际应用问题

[典例]　如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.

(1)试用a，b表示S；

(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

[解]　(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，

∴ab＝28 800.①

设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，

∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．

(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，

当且仅当9a＝8b时等号成立，

此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，

即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．

∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．

[方法技巧]

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．　　

[针对训练]

某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？

解：由题意知t＝－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－＋－3＝45.5－≤45.5－2＝37.5，当且仅当x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元．