2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第一章第四节　基本不等式

第四节　基本不等式突破点一　利用基本不等式求最值1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值为4.(　　)(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、填空题1．当x>0时，函数f(x)＝的最大值为________．答案：12．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．答案：2　3．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析：∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，当且仅当即时取得等号．答案：44．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．答案： 考法一　通过拼凑法利用基本不等式求最值　利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．[例1]　(1)(2019·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)A.          B.  C.          D.(2)(2019·南昌调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．[解析]　(1)∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．(2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.[答案]　(1)B　(2)4[方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　考法二　通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2]　(1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有＋≥m恒成立，则m的最大值是________．[解析]　(1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为8，又＋≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8.[答案]　(1)4　(2)8 [方法技巧]通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．　　 1.已知x<0，则函数y＝＋x的最大值是________．解析：∵x<0，∴y＝－≤－4，当且仅当x＝－2时取等号．答案：－42.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为a>0，b>0，＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案：[6，＋∞)     突破点二　基本不等式的实际应用问题[典例]　如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？[解]　(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，∴ab＝28 800.①设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大． [方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．　　 [针对训练]某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？解：由题意知t＝－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－＋－3＝45.5－≤45.5－2＝37.5，当且仅当x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元．