2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第七章第四节直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质

突破点一　直线与平面垂直的判定与性质

1．直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

(2)线面角θ的范围：.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)

(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　　)

(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、填空题

1．过一点有________条直线与已知平面垂直．

答案：一

2．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案：外　垂

3．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，  △PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．

解析：因为PC⊥平面ABC，

所以PC垂直于直线AB，BC，AC.

因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

所以AB⊥平面PAC，

又因为AP⊂平面PAC，

所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.

答案：AB，BC，AC　AB

[典例]　(2019·郑州一测)如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D为线段AB上的点，且AD＝2DB，PD⊥AC.

(1)求证：PD⊥平面ABC；

(2)若∠PAB＝，求点B到平面PAC的距离．

[解]　(1)证明：连接CD，据题知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝，

∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，

∴CD＝2，∴CD2＋AD2＝AC2，则CD⊥AB.

∵平面PAB⊥平面ABC，

∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，

∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，

∴PD⊥平面ABC.

(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝，

∴PD＝AD＝4，PA＝4，

在Rt△PCD中，PC＝＝2，

∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8.

设点B到平面PAC的距离为d，

由VB­PAC＝VP­ABC，得S△PAC×d＝S△ABC×PD，

∴d＝＝3.

故点B到平面PAC的距离为3.

[方法技巧]

证明直线与平面垂直的方法

(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；

(2)判定定理(常用方法)；

(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；

(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；

(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);

(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．　　

[针对训练]

(2019·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°.

(1)求证：AC⊥BD1；

(2)求四面体D1AB1C的体积．

解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1.

(2)VD1AB1C＝VABCD­A1B1C1D1－VB1­ABC－VD1­ACD－VA­A1B1D1－VC­C1B1D1＝VABCD­A1B1C1D1－4VB1­ABC＝×－4×××＝.

突破点二　平面与平面垂直的判定与性质

1．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

2．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

(3)二面角α的范围：.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　　)

(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)

(3)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．m，n为直线，α，β为平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α与β的位置关系为________．

答案：垂直

2．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件．

答案：充分不必要

3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．

解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．

答案：7

[典例]　(2019·开封定位考试)如图，在三棱锥D­ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.

(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；

(2)求三棱锥D­ABC的体积．

[解]　(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，

BC＝

＝ ＝，

∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，

∴BC⊥平面ADC，

又BC⊂平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.

(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝，

∴sin∠ACD＝，

∴S△ACD＝·AC·CD·sin∠ACD＝，

则VD­ABC＝VB­ADC＝·BC·S△ACD＝.

[方法技巧]　面面垂直判定的两种方法与一个转化

[针对训练]

(2019·洛阳一模)如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且AE⊥BD.

(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；

(2)若△EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离．

解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，

则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，

∴DM＝CB＝AD＝AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，

∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，

∴BD⊥平面EAD.

∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.

(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面EAD.

∵等边△EAD的面积为，

∴AD＝AE＝ED＝2，

取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝，

∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，

∴EO⊥平面ABCD.

由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，

∴BD＝＝2，

S△EBD＝ED·BD＝2，

设点C到平面EBD的距离为h，

由VC­EBD＝VE­BCD，得S△EBD·h＝S△BCD·EO，

又S△BCD＝BC·CDsin 120°＝，

∴h＝.∴点C到平面EBD的距离为.

突破点三　平行与垂直的综合问题

1．平行关系之间的转化

在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．

2．垂直关系之间的转化

在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

[典例]　(2018·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

[证明]　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，

所以PD⊥平面PAB.

因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

[方法技巧]

平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．　　

[针对训练]

(2019·北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．

(1)求证：AC⊥平面BDEF；

(2)求证：平面BDGH∥平面AEF.

证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥平面BDEF.

(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.

又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.

设AC∩BD＝O，连接OH，如图．

在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，

所以OH∥AF.

因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，

所以OH∥平面AEF.

因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF.