2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第二节　第1课时　系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

第二节　函数的性质

第1课时　系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

1.单调函数的定义

2.单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

[点拨]　(1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．

(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有>0.

(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．

[谨记常用结论]

(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．

(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．

(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．

(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．

(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．

1.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．

答案：[1，＋∞)

2.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，

∴≤，即a≤2.

答案：(－∞，2]

3.函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为________．

解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.

又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，

在(2，＋∞)上为增函数，

y＝logu为减函数，

故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)

4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]

5．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．

解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，

且为增函数，

故函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.

答案：(－∞，－4)

6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为________．

解析：由题设得解得－1≤x<.

答案：

　　1.函数的最值

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．

[点拨]　(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；

(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；

(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：

f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．

1.函数f(x)＝在[2,6]上的最大值是________．

答案：2

2.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.

解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，

所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.

答案：

3.若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.

解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，

∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.

即解得

答案：1　

4.函数y＝的值域为________．

解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，

故所求函数的值域为[－1,1)．

答案：[－1,1)

5．函数f(x)＝的最大值为________．

解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

答案：2

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值－2.故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.

答案：1

函数奇偶性的定义及图象特征

[谨记常用结论]

1.函数奇偶性的几个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

2．有关对称性的结论

(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．

若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.

答案：－2

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.

解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.

答案：－5

3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则当x>0时，f(x)＝________.

解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.

答案：－x＋1

4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．

解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.

又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.

答案：

5．在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是________．

解析：y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2.

答案：2

6．已知函数f(x)＝asin x＋bln＋t，若f＋f＝6，则实数t＝________.

解析：令g(x)＝asin x＋bln，则易知g(x)为奇函数，所以g＋g＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.

答案：3

1.周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[谨记常用结论]

定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．

(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；

(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．

1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f＝________.

答案：1

2.若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.

解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，

∴f(3)－f(4)＝－1.

答案：－1

3.已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.

解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，故函数f(x)的周期为4.∴f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.

答案：3

4.函数f(x)的周期为4，且x∈(－2,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．

解析：由f(x)＝2x－x2，x∈(－2,2]，知f(－1)＝－3，f(0)＝0，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0－3＋0＝－3.

答案：－3

5．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 019)＝________.

解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 019)＝f(3)＝0.

答案：0

6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.

答案：3