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2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第八节函数模型及其应用
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第八节函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．
2.结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
突破点一 基本初等函数模型
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种基本初等函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
1．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.
答案：8
2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．
解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
答案：6
4．(2019·枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
考法一 二次函数模型
[例1] (2019·商丘二中检测) 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
[解] (1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x10－＝－(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[方法技巧]
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
考法二 指数函数、对数函数模型
[例2] (1)(2019·贵阳摸底)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大震幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
(2)(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
[解析] (1)由题意知，lg A－lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.故选C.
(2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
[答案] (1)C (2)4
[方法技巧]
两种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
1.某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析： 选C 设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]＝－402＋1 210，故当x＝＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.
2.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45， ∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg(100.7)＝0.7> lg 3>lg 2，∴100.7>3>2,10－0.7<<，∴<<.故选C.
突破点二 两类特殊函数的模型
考法一 y＝x＋(a>0)型函数模型
[例1] (2019·盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知 ∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?
[解] (1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，
|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10,20]，
由x(30－x)≤2＝225，
可知当x＝15时，S取得最大值为225，
当x＝10或20时，S取得最小值为200，
∴200≤S≤225.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，
又∵△ABC的面积为450，
∴草坪造价T2＝(450－S)．
∴总造价T＝T1＋T2＝25k，200≤S≤225.
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.
所以选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
[方法技巧]
“y＝x＋(a>0)”型函数模型的求解策略
(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
考法二 分段函数模型
[例2] (2019·德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
[解] (1)当m＝5时，y＝
当0
(2)y＝mf(x)＝
当0
所以函数y＝在(5,9]上单调递减，
所以≤y<3m.综上可知≤y≤3m.
为使5≤y≤10恒成立，只要
解得≤m≤，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为.
[方法技巧]
分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
1.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为( )
A．[2,4] B．[3,4]
C．[2,5] D．[3,5]
解析：选B 根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)x，
得BC＝－，由得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.
2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝当每件衣服的利润为多少元时，该服装厂所获效益最大？并求出最大值．
解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝当00，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.故当每件衣服的利润为80元时，该服装厂所获效益最大为240 000元．
[课时跟踪检测]
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
解析：选B 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．(2019·襄阳四中月考)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.
3．(2019·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损
解析：选D 设买入股票时的价格为m(m>0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n<，得n≥10，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.
5．(2019·山西三区八校模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0
解析：选B 设AD长为x，则CD长为16－x.
又因为要将P点围在矩形ABCD内，
所以a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积为x(16－x)．
当0
分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.
6．(2019·广东佛山一中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：选B 由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
7．(2019·绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．15立方米 D．16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝即y＝易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.
8．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A. B．5
C. D．2
解析：选A 设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x≤20恒成立．∵f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.
9．(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A、C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.
10．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )
A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10＋500
C．y＝(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]
解析：选C 由题意知，拟定函数应用满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.
11．(2019·福建三明期末)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度为T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．
解析：88 ℃的速溶咖啡放在24 ℃的房间中，降到40 ℃需要20分钟，则由题意知Ta＝24，T0＝88，T＝40，t＝20，可得40－24＝(88－24) ，解得h＝10，此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24) ，解得t＝10.
答案：10
12．(2019·湖南重点中学联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年．(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)
解析：设公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是n，
则130×(1＋12%)n－2 016>200，
化为(n－2 016)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，
所以n－2 016>＝＝3.8，
即n>2 019.8，
所以n＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年.
答案：2020
13．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数且a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.
答案：
14．(2019·湖北七州联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt，P0为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10，应填10.
答案：10
15．(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
解：(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
16．(2019·福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，
则S＝200x－＝－(x－400)2，
∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
＝
当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500)时，＝x－200＋≥2 －200＝400－200＝200，
当且仅当＝，
即x＝400时，取得最小值200.
∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．
2.结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
突破点一 基本初等函数模型
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种基本初等函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
1．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.
答案：8
2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．
解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
答案：6
4．(2019·枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
考法一 二次函数模型
[例1] (2019·商丘二中检测) 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
[解] (1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x10－＝－(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[方法技巧]
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
考法二 指数函数、对数函数模型
[例2] (1)(2019·贵阳摸底)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大震幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
(2)(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
[解析] (1)由题意知，lg A－lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.故选C.
(2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
[答案] (1)C (2)4
[方法技巧]
两种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
1.某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析： 选C 设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]＝－402＋1 210，故当x＝＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.
2.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45， ∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg(100.7)＝0.7> lg 3>lg 2，∴100.7>3>2,10－0.7<<，∴<<.故选C.
突破点二 两类特殊函数的模型
考法一 y＝x＋(a>0)型函数模型
[例1] (2019·盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知 ∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?
[解] (1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，
|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10,20]，
由x(30－x)≤2＝225，
可知当x＝15时，S取得最大值为225，
当x＝10或20时，S取得最小值为200，
∴200≤S≤225.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，
又∵△ABC的面积为450，
∴草坪造价T2＝(450－S)．
∴总造价T＝T1＋T2＝25k，200≤S≤225.
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.
所以选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
[方法技巧]
“y＝x＋(a>0)”型函数模型的求解策略
(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
考法二 分段函数模型
[例2] (2019·德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
[解] (1)当m＝5时，y＝
当0
(2)y＝mf(x)＝
当0
所以函数y＝在(5,9]上单调递减，
所以≤y<3m.综上可知≤y≤3m.
为使5≤y≤10恒成立，只要
解得≤m≤，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为.
[方法技巧]
分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
1.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为( )
A．[2,4] B．[3,4]
C．[2,5] D．[3,5]
解析：选B 根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)x，
得BC＝－，由得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.
2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝当每件衣服的利润为多少元时，该服装厂所获效益最大？并求出最大值．
解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝当0
[课时跟踪检测]
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
解析：选B 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．(2019·襄阳四中月考)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.
3．(2019·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损
解析：选D 设买入股票时的价格为m(m>0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n<，得n≥10，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.
5．(2019·山西三区八校模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0
解析：选B 设AD长为x，则CD长为16－x.
又因为要将P点围在矩形ABCD内，
所以a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积为x(16－x)．
当0
分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.
6．(2019·广东佛山一中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：选B 由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
7．(2019·绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．15立方米 D．16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝即y＝易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.
8．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A. B．5
C. D．2
解析：选A 设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x≤20恒成立．∵f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.
9．(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A、C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.
10．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )
A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10＋500
C．y＝(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]
解析：选C 由题意知，拟定函数应用满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.
11．(2019·福建三明期末)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度为T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．
解析：88 ℃的速溶咖啡放在24 ℃的房间中，降到40 ℃需要20分钟，则由题意知Ta＝24，T0＝88，T＝40，t＝20，可得40－24＝(88－24) ，解得h＝10，此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24) ，解得t＝10.
答案：10
12．(2019·湖南重点中学联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年．(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)
解析：设公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是n，
则130×(1＋12%)n－2 016>200，
化为(n－2 016)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，
所以n－2 016>＝＝3.8，
即n>2 019.8，
所以n＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年.
答案：2020
13．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数且a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.
答案：
14．(2019·湖北七州联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt，P0为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10，应填10.
答案：10
15．(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
解：(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
16．(2019·福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y＝
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，
则S＝200x－＝－(x－400)2，
∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
＝
当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500)时，＝x－200＋≥2 －200＝400－200＝200，
当且仅当＝，
即x＝400时，取得最小值200.
∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
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