2020届高考数学一轮复习：课时作业37《基本不等式》(含解析) 练习

课时作业37　基本不等式

1．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.

2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　D　)

A.≤   B.＋≤1

C.≥2   D．a2＋b2≥8

解析：4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．

3．(2019·安庆一模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　B　)

A．4  B．2

C．8  D．16

解析：由a＞0，b＞0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2 ＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故选B.

4．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　C　)

A.   B.

C．2   D.

解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

5．设x＞0，y＞0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　D　)

A．40   B．10

C．4   D．2

解析：因为x＋4y＝40，且x＞0，y＞0，

所以x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)

所以4≤40，所以xy≤100.

所以lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.

所以lgx＋lgy的最大值为2.

6．(2019·海淀模拟)当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　D　)

A．[－2,0)∪(0,4]   B．[－4,0)∪(0,2]

C．[－4,2]   D．[－2,4]

解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2＝，当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D.

7．已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为　4　.

解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，

∴b(a－b)≤2＝，

∴a2＋≥a2＋≥2＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，

即a＝且b＝时取等号，

∴a2＋的最小值为4.

8．(2019·河南中原名校联考)已知直线ax－2by＝2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为　　.

解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)．

由于直线ax－2by＝2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.

∴＋＝(a＋2＋b＋1)

＝

≥＋×2 ＝，

当且仅当a＝2b＝时，取等号，

故＋的最小值为.

9．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为　15　米时，可使总造价最低．

解析：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．

10．(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，则＋的最小值为　4　.

解析：由等差数列的前n项和公式，

得S2 017＝＝4 034，

则a1＋a2 017＝4.

由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，

所以＋＝

＝

＝

≥＝4，

当且仅当a2 009＝3a9时等号成立，故所求最小值为4.

11．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为　5　.

解析：法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)

＝＋＋＋

≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，

∴3x＋4y的最小值是5.

法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，

∵x＞0，y＞0，∴y＞，

∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y

＝＋·＋4

≥＋2＝5，

当且仅当y＝时等号成立，

∴(3x＋4y)min＝5.

12．经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，

∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，

每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，

∴2017年的利润y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m

＝4＋8－m

＝28－－m(m≥0)．

∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－－m(m≥0)．

(2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)．

∵m≥0时，＋(m＋1)≥2 ＝8，

当且仅当＝m＋1，即m＝3时取等号．

∴y≤－8＋29＝21，

即当m＝3时，y取得最大值21.

∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．

13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是(　B　)

A．0   B．1

C.   D．3

解析：＝＝≤＝1，

当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

14．(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则＋的最小值为(　B　)

A．0   B.

C.   D．1

解析：因为函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立．

所以

所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，

又a＞0，所以c＞0，则＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2 －＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B.

15．(2019·洛阳模拟)设函数f(x)＝－sin2x的最小值为m，且与m对应的x的最小正值为n，则m＋n＝　　.

解析：f(x)＝＋＝＋－，因为cos2x＋2＞0，所以f(x)≥2×－＝0，当且仅当＝，即cos2x＝－时等号成立，所以x的最小正值为n＝，所以m＋n＝.

16．已知两条直线l1：y＝m(m＞0)和l2：y＝，l1与函数y＝|log2x|的图象从左到右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为　8　.

解析：根据题意得xA＝2－m，xB＝2m，xC＝2，xD＝2，

所以a＝|xA－xC|＝|2－m－2|，

b＝|xB－xD|＝|2m－2|，

即＝＝2·2m＝2＋m.

因为m＞0，所以＋m＝(2m＋1)＋－≥2 －＝，当且仅当(2m＋1)＝，即m＝时取等号，所以的最小值为2＝8.