2020版高考数学一轮复习课时作业50《 圆的方程》(含解析) 练习

课时作业50　圆的方程

一、选择题

1.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　A　)

A.(x＋1)2＋y2＝2  B.(x＋1)2＋y2＝8

C.(x－1)2＋y2＝2  D.(x－1)2＋y2＝8

解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0).根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0).因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.

2.(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　A　)

A.(x－1)2＋(y－1)2＝5

B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

C.(x－1)2＋y2＝5

D.x2＋(y－1)2＝5

解析：因为两平行直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0的距离为d＝＝2.故所求圆的半径为r＝，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为＝，即a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为r＝，所以a＝1.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.

3.已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　D　)

A.2  B.－2

C.1  D.－1

解析：因为曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝9，若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m＋4＝0，解得m＝－1.

4.(2019·贵阳市监测考试)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　A　)

A.2   B.2

C.3   D.4

解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±，所以|MN|＝2.

5.(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　D　)

A.(－，)  B.[－，]

C.(－，)  D.[－，]

解析：解法1：数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D.

解法2：数形结合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k＝1时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝>1，直线与圆相离，故排除A，B；当k＝时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝1，直线与圆相切，排除C，故选D.

6.(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　B　)

A.x2＋(y－1)2＝4  B.x2＋(y－1)2＝2

C.x2＋(y－1)2＝8  D.x2＋(y－1)2＝16

解析：直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图.

∴圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.

二、填空题

7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，

所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

8.(2019·贵阳市摸底考试)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.

解析：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1.又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.

9.(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y＝x2(x<0)上，且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

解析：依题意设圆的方程为(x－a)2＋(y－a2)2＝r2(a<0)，又该圆与抛物线的准线及y轴均相切，所以＋a2＝r＝－a⇒故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

三、解答题

10.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程.

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2).

则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，

即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，

则由点P在CD上得a＋b－3＝0.　①

又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40.　②

由①②解得或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2).

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

11.(2019·山西长治六校联考)已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.

(1)求圆C的方程；

(2)求直线l的方程.

解：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r>0).

因为圆C经过A，B两点，所以2＋2＝2＋2，

即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.

又易知r2＝2＋2＝，

所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝.

(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，，Q，－或P－，，Q，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意.

当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，

设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，

∵OP⊥OQ且C1的半径为1，

∴O到l的距离为，

又l与圆C相切，∴

由①②知|m|＝|m－4|，∴m＝2，

代入①得k＝±，

∴l的方程为y＝±x＋2.

综上，l的方程为x＝±或y＝±x＋2.

12.(2019·江西新余五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　D　)

A.x－y－3＝0或7x－y－15＝0

B.x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0

C.x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0

D.x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线PQ的距离d＝，由平面几何知识得|PQ|＝2，S△OPQ

＝·|PQ|·d＝·2·d＝≤

＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值.因为2<，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.故选D.

13.(2019·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于－.

解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－.

14.如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4π.

解析：解法1：设C坐标为(x，y)，则A坐标为(4－x，－y)，∵|AB|＝|AC|，

∴＝，整理得(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以C的轨迹包围的图形面积为4π.

解法2：由已知|AB|＝2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.

15.(2019·福州高三考试)抛物线C：y＝2x2－4x＋a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.

(1)若点Q(x，y)(1<x<4)在C上，求直线PQ斜率的取值范围；

(2)证明：经过这三个交点的圆E过定点.

解：(1)由题意得P(0，a)(a≠0)，Q(x,2x2－4x＋a)(1<x<4)，

故kPQ＝＝2x－4，

因为1<x<4，所以－2<kPQ<4，

所以直线PQ的斜率的取值范围为(－2，4).

(2)证明：P(0，a)(a≠0).

令2x2－4x＋a＝0，

则Δ＝16－8a>0，a<2，且a≠0，

解得x＝1±，

故抛物线C与x轴交于A(1－，0)，B(1＋，0)两点.

故可设圆E的圆心为M(1，t)，

由|MP|2＝|MA|2，

得12＋(t－a)2＝()2＋t2，

解得t＝＋，

则圆E的半径

r＝|MP|＝.

所以圆E的方程为(x－1)2＋(y－－)2＝1＋(－)2，

所以圆E的一般方程为

x2＋y2－2x－(a＋)y＋＝0，

即x2＋y2－2x－y＋a(－y)＝0.

由

得或

故圆E过定点(0，)，(2，).