2020届高考数学一轮复习：课时作业27《平面向量基本定理及向量坐标运算》(含解析) 练习

课时作业27　平面向量基本定理及向量坐标运算

1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　D　)

A．e1与e1＋e2   B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2   D．e1－2e2与－e1＋2e2

2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　A　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，

由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，

所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A．

3．(2019·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　C　)

A．＋   B．＋

C．＋   D．＋

解析：如图，∵＝2，

∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.

4．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　B　)

A．e1＋e2   B．－2e1＋e2

C．2e1－e2   D．2e1＋e2

解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，

因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，

则解得故a＝－2e1＋e2.

5．已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　C　)

A．　　　　B．  C．　　　　D．

解析：因为m∥n，所以sinA(sinA＋cosA)－＝0，

所以2sin2A＋2sinAcosA＝3，

可化为1－cos2A＋sin2A＝3，

所以sin＝1，

因为A∈(0，π)，所以∈.

因此2A－＝，解得A＝.

6．(2019·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　A　)

A．   B．

C．1   D．

解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，

所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A．

7．(2019·四川凉山模拟)设向量a＝(cosx，－sinx)，b＝，且a＝tb，t≠0，则sin2x＝(　C　)

A．1   B．－1

C．±1   D．0

解析：因为b＝＝(－sinx，cosx)，a＝tb，所以cosxcosx－(－sinx)(－sinx)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，即tanx＝±1，所以x＝＋(k∈Z)，则2x＝kπ＋(k∈Z)，所以sin2x＝±1，故选C．

8．(2019·湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x·，＝y，则的值为(　B　)

A．   B．

C．2   D．3

解析：由已知得M，G，N三点共线，

∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)·y.

∵点G是△ABC的重心，

∴＝×(＋)＝·(＋)，

∴即

得＋＝1，即＋＝3，通分变形得，＝3，

∴＝.

9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，则的坐标为(－2，－4)__．

解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，

＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．

因为＝，＝－，

所以有和

解得 和

所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，

从而＝(－2，－4)．

10．(2019·南昌模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝－1__.

解析：设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.

11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，

∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.

(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

∵A，B，C三点共线，∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.

12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比；

(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x·＋y，求x，y的值．

解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．

如图，设＝λ，

则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，

所以λ＝，所以＝，

即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.

(2)由＝x＋y，

得＝x＋，＝＋y，

由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线

⇒⇒

13．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　C　)

A．2　　　　 B． 

C．3　　　　 D．4

解析：∵·＝0，∴⊥，

以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，

＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．

∵tan30°＝＝.∴m＝3n，即＝3.

14．(2019·福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　C　)

A．4   B．6

C．8   D．9

解析：∵＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，

∴＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，

∵A，B，C三点共线，

∴＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，

∴可得2a＋b＝1.

∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，

故＋的最小值为8，故选C．

15．(2019·福建福州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为－1__.

解析：如图，延长DC，AB交于点E，

因为∠DCA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA．

又∠ABC＝90°，所以＝－.

因为＝x＋y，所以＝－x＋y.

因为C，D，E三点共线，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1.

16．(2019·长沙一模)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的取值范围是(1， ]　.

解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ＝θ，

则＝＋，且||＝cosθ，||＝sinθ.

又与共线，与共线，

故＝，＝，

从而＝＋，故x＝，y＝，

因此3x＋2y＝cosθ＋sinθ＝sin，

又θ∈，故3x＋2y的取值范围是(1，]．