2020版高考数学一轮复习课时作业38《 基本不等式》(含解析) 练习

课时作业38　基本不等式

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是(　C　)

A.lg>lgx(x>0)

B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C.x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

解析：对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，所以lg≥lgx；对选项B，当sinx<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故选C.

2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　D　)

A.[0,2]   B.[－2,0]

C.[－2，＋∞)   D.(－∞，－2]

解析：∵1＝2x＋2y≥2＝2

，

∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.

3.已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(　C　)

A.2   B.4

C.2   D.2

解析：∵a>0，b>0，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号.∵ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝＝2.

4.已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　D　)

A.   B.

C.－1   D.0

解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.

5.已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　C　)

A.3   B.

C.4   D.

解析：∵x＋y＋＋＝5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]＝(x＋y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4，

∴x＋y的最大值是4，当且仅当x＝y＝2时取得.

6.(2019·吉林长春外国语学校质检)已知x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，则实数t的取值范围是(　B　)

A.(－∞，－8)∪(3，＋∞)   B.(－8,3)

C.(－∞，－8)   D.(3，＋∞)

解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，可得＋＝1，∴2x＋3y＝(2x＋3y)＋＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号.∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，∴t2＋5t＋1<(2x＋3y)min，∴t2＋5t＋1<25，解得－8<t<3.

7.若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　A　)

A.a≥   B.a>

C.a<   D.a≤

解析：由x>0，＝，令t＝x＋，则t≥2＝2，当且仅当x＝1时，t取得最小值2.取得最大值，所以对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则a≥.

二、填空题

8.已知a>0，则的最小值为－1.

解析：＝＝4a－5＋.

∵a>0，∴4a－5＋≥2－5＝－1，当且仅当4a＝，即a＝时取等号，∴的最小值为－1.

9.若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是3.

解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝.

则x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3

≥2－3＝3，当且仅当x＝1时取等号.因此其最小值是3.

10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元.

解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元.

三、解答题

11.(2019·河北唐山模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.

(1)求＋的最小值.

(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由.

解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，

所以＋的最小值为2.

(2)不存在.理由如下：

因为x2＋y2≥2xy，

所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y).

又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.

从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，

因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.

12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值.

解：(1)由题设，

得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450).

(2)因为8<x<450，

所以2x＋≥2＝240，

当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.

13.(2019·海淀质监)当0<m<时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　D　)

A.[－2,0)∪(0,4]   B.[－4,0)∪(0,2]

C.[－4,2]   D.[－2,4]

解析：因为0<m<，所以×2m×(1－2m)≤×2＝，当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4].故选D.

14.(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，则＋的最小值为4.

解析：由等差数列的前n项和公式，

得S2 017＝＝4 034，

则a1＋a2 017＝4.

由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，

所以＋＝

＝

＝

≥＝4，

当且仅当a2 009＝3a9时等号成立.

15.(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则＋的最小值为(　B　)

A.0   B.

C.   D.1

解析：因为函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立.所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，所以c>0，则＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2－＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B.

16.(2019·天津模拟)已知x，y为正实数，则＋的最小值为.

解析：∵x，y为正实数，则＋

＝＋＋1＝＋＋1，

令t＝，则t>0，

∴＋＝＋t＋1

＝＋t＋＋≥

2＋＝，

当且仅当t＝时取等号.

∴＋的最小值为.