2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第8章第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析　直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.

答案　A

2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)

A.相交或平行   B.相交或异面

C.平行或异面    D.相交、平行或异面

解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.

答案　D

3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是(　　)

A.①   B.①④   C.②③   D.③④

解析　显然命题①正确.

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.

命题③中，两个平面重合或相交，③错.

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.

答案　B

4.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)

A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解析　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.

答案　C

5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.

设正方体棱长为a，

则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，

∴cos∠D1FD＝＝.

答案　B

二、填空题

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线MN与AC所成的角为60°.

其中正确的结论为________(填序号).

解析　A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.

答案　③④

7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

解析　取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.

答案　4

8.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________.

解析　如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.

∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

∴MN綉B1C1.又BD綉B1C1，

∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，

∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).

设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，

在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝＝.

故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.

答案　

三、解答题

9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.

解　(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.

又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线.

(2)直线D1B和CC1是异面直线.

理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，

这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，

即D1B和CC1是异面直线.

10.(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.

解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P－ABC的体积为

V＝S△ABC·PA＝×2×2＝ .

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

11.以下四个命题中，

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

正确命题的个数是(　　)

A.0   B.1 C.2   D.3

解析　①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

答案　B

12.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)

A.l1⊥l4  B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定

解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.

若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.

因此l1与l4的位置关系不能确定.

答案　D

13.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.

解析　取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).

在△GHF中，可求HF＝，

GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝.

答案　

14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.

(1)求四棱锥O－ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.

解　(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，

所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.

(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.

又M为OA中点，∴ME∥OC，

则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，

∵()2＋()2＝()2，

∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝＝＝.

∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.