2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第2讲　两直线的位置关系 (含解析)

第2讲　两直线的位置关系

一、选择题

1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)

A.平行    B.垂直

C.相交但不垂直    D.不能确定

解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.

答案　C

2.(2017·刑台模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，因此选C.

答案　C

3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)

A.19x－9y＝0    B.9x＋19y＝0

C.19x－3y＝0    D.3x＋19y＝0

解析　法一　由得

则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.

法二　设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，

即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，

所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，

解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.

答案　D

4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A.x＋2y－1＝0    B.2x＋y－1＝0

C.x＋2y＋3＝0    D.x＋2y－3＝0

解析　设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.

答案　D

5.(2017·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)

A.7   B.   C.14   D.17

解析　直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝，故选B.

答案　B

6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)

A.   B.－   C.2   D.－

解析　依题设，直线l的斜率k＝2，∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝，cos α＝，则cos＝cos＝sin 2α＝2sin αcos α＝.

答案　A

7.(2017·成都调研)已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A.(3，)   B.(2，)   C.(1，)   D.

解析　直线l1的斜率为k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2).两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).故选C.

答案　C

8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)

A.x＋2y－4＝0    B.2x＋y－1＝0

C.x＋6y－16＝0    D.6x＋y－8＝0

解析　由直线与向量a＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.

答案　A

二、填空题

9.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.

解析　由得

∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，

即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.

答案　－9

10.(2017·沈阳检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________.

解析　显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；

设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y＋4－3k＝0，

由已知，得＝，

∴k＝2或k＝－.

∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.

答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

11.(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________.

解析　因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2，又直线l2过点(－1，1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所以P点坐标为(0，3).

答案　(0，3)

12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.

解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得a＝1，b＝0.

又反射光线经过点N(2，6)，

所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

答案　6x－y－6＝0

13.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)

A.   B.   C.5   D.10

解析　由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，

∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，

∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.

答案　D

14.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点(　　)

A.(0，4)    B.(0，2)

C.(－2，4)    D.(4，－2)

解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).

答案　B

15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.

解析　易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，

即△APB为直角三角形，

∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5.

当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立.

答案　5

16.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.

解析　设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求.∵kAC＝＝2，

∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，

即2x－y＝0.①

又∵kBD＝＝－1，

∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，

即x＋y－6＝0.②

由①②得解得所以M(2，4).

答案　(2，4)