2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练:第8章第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 (含解析)
展开第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1.(2015·浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
解析 由面面垂直的判定定理,可知A选项正确;B选项中,l与m可能平行;C选项中,α与β可能相交;D选项中,l与m可能异面.
答案 A
2.(2017·深圳四校联考)若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为( )
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.
答案 B
3.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
解析 因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,
BC⊄平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故选项A正确.
在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,
∴BC⊥平面PAE,DF∥BC,则DF⊥平面PAE,又DF⊂平面PDF,从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B,C均正确.
答案 D
4.(2017·西安调研)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
解析 A中,α∥β或α与β相交,不正确.B中,过直线l作平面γ,设α∩γ=l′,则l′∥l,由l⊥β,知l′⊥β,从而α⊥β,B正确.C中,l∥β或l⊂β,C不正确.D中,l与β的位置关系不确定.
答案 B
5.(2017·天津滨海新区模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析 由题意知,BD⊥平面ADC,且AC⊂平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.
答案 B
二、填空题
6.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
答案 4
7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).
解析 由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.(2016·全国Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).
解析 对于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故错误.
对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正确.
对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确.
对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.
答案 ②③④
三、解答题
9.(2017·青岛质检)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
(1)证明 由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.
又G为AD的中点,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)解 在平面ABC内,作AO⊥BC,交CB的延长线于O,如图由平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,AO⊂平面ABC,知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,
所以VD-BCG=VG-BCD=S△DBC·h=×BD·BC·
sin 120°·=.
10.(2016·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
(1)证明 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC,且PC∩AC=C,所以DC⊥平面PAC.
(2)证明 因为AB∥CD,DC⊥AC,所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.
理由如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF,又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
11.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.则下列说法正确的是( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
解析 A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.
答案 C
12.(2017·贵阳模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
解析 由题意可知PA,PE,PF两两垂直,
所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,
所以EF⊥平面PAO,
∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.
答案 A
13.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).
解析 由PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,得PA⊥AE,
又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴AE⊥PB,①正确;又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②错;由正六边形的性质得BC∥AD,又AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立,③错;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确.
答案 ①④
14.(2016·四川卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由.
(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.
(1)解 取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点,理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD.所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB.CM⊄平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.
因为AD∥BC,BC=AD,
所以直线AB与CD相交,
所以PA⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD,
从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=AD,
M为AD的中点,连接BM,所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形,
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.