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    2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练:第8章第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质 (含解析)

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    5讲 直线、平面垂直的判定及其性质

    一、选择题

    1.(2015·浙江卷)αβ是两个不同的平面lm是两条不同的直线lαmβ(  )

    A.lβαβ   B.αβlm

    C.lβαβ   D.αβlm

    解析 由面面垂直的判定定理可知A选项正确;B选项中lm可能平行;C选项中αβ可能相交;D选项中lm可能异面.

    答案 A

    2.(2017·深圳四校联考)若平面αβ满足αβαβlPαPl则下列命题中是假命题的为(  )

    A.P垂直于平面α的直线平行于平面β

    B.过点P垂直于直线l的直线在平面α

    C.过点P垂直于平面β的直线在平面α

    D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

    解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线因此也平行于平面β因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α不一定在平面α因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知选项CD正确.

    答案 B

    3.如图在正四面体PABCDEF分别是ABBCCA的中点下面四个结论不成立的是(  )

    A.BC平面PDF

    B.DF平面PAE

    C.平面PDF平面PAE

    D.平面PDE平面ABC

    解析 因为BCDFDF平面PDF

    BC平面PDF

    所以BC平面PDF故选项A正确.

    在正四面体中AEBCPEBCAEPEE

    BC平面PAEDFBC,则DF平面PAEDF平面PDF从而平面PDF平面PAE.因此选项BC均正确.

    答案 D

    4.(2017·西安调研)l是直线αβ是两个不同的平面则下列说法正确的是(  )

    A.lαlβαβ  B.lαlβαβ

    C.αβlαlβ   D.αβlαlβ

    解析 Aαβαβ相交,不正确.B过直线l作平面γαγllllβlβ从而αβB正确.ClβlβC不正确.Dlβ的位置关系不确定.

    答案 B

    5.(2017·天津滨海新区模拟)如图以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕ABDACD折成互相垂直的两个平面后某学生得出下列四个结论:

    BDAC

    ②△BAC是等边三角形;

    三棱锥DABC是正三棱锥;

    平面ADC平面ABC.

    其中正确的是(  )

    A.①②④   B.①②③

    C.②③④    D.①③④

    解析 由题意知BD平面ADCAC平面ADCBDAC正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高平面ABD平面ACD所以ABACBCBAC是等边三角形正确;易知DADBDC又由正确;由.

    答案 B

    二、填空题

    6.如图已知PA平面ABCBCAC则图中直角三角形的个数为________.

    解析 PA平面ABCABACBC平面ABC

    PAABPAACPABCPABPAC为直角三角形.BCACACPAABC平面PAC从而BCPC因此ABCPBC也是直角三角形.

    答案 4

    7.如图所示在四棱锥PABCDPA底面ABCD且底面各边都相等MPC上的一动点当点M满足________平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

    解析 由定理可知BDPC.

    DMPC(BMPC)PC平面MBD.

    PC平面PCD

    MBD平面PCD.

    答案 DMPC(BMPC)

    8.(2016·全国)αβ是两个平面mn是两条直线有下列四个命题:

    如果mnmαnβ那么αβ.

    如果mαnα那么mn.

    如果αβmα那么mβ.

    如果mnαβ那么mα所成的角和nβ所成的角相等.

    其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).

    解析 对于αβ可以平行也可以相交但不垂直故错误.

    对于由线面平行的性质定理知存在直线lαnlmα所以ml所以mn故正确.

    对于因为αβ所以αβ没有公共点.mα所以mβ没有公共点由线面平行的定义可知mβ故正确.

    对于因为mn所以mα所成的角和nα所成的角相等.因为αβ所以nα所成的角和nβ所成的角相等所以mα所成的角和nβ所成的角相等故正确.

    答案 ②③④

    三、解答题

    9.(2017·青岛质检)如图ABCBCD所在平面互相垂直ABBCBD2ABCDBC120°EFG分别为ACDCAD的中点.

    (1)求证:EF平面BCG

    (2)求三棱锥DBCG的体积.

    (1)证明 由已知得ABC≌△DBC因此ACDC.

    GAD的中点所以CGAD.

    同理BGADBGCGG因此AD平面BCG.

    EFAD所以EF平面BCG.

    (2) 在平面ABCAOBCCB的延长线于O如图由平面ABC平面BCD平面ABC平面BDCBCAO平面ABCAO平面BDC.

    GAD中点因此G到平面BDC的距离hAO长度的一半.

    AOBAOAB·sin 60°

    所以VDBCGVGBCDSDBC·h×BD·BC·

    sin 120°·.

    10.(2016·北京卷)如图在四棱锥PABCDPC平面ABCDABDCDCAC.

    (1)求证:DC平面PAC

    (2)求证:平面PAB平面PAC

    (3)设点EAB的中点在棱PB上是否存在点F使得PA平面CEF?说明理由.

    (1)证明 因为PC平面ABCD所以PCDC.又因为ACDCPCACC所以DC平面PAC.

    (2)证明 因为ABCDDCAC所以ABAC.

    因为PC平面ABCD所以PCAB.

    又因为PCACC所以AB平面PAC.

    AB平面PAB所以平面PAB平面PAC.

    (3)解 PB上存在点F使得PA平面CEF.

    理由如下:取PB中点F连接EFCECF又因为EAB的中点所以EFPA.又因为PA平面CEFEF平面CEF

    所以PA平面CEF.

    11.mn是两条不同的直线αβ是两个不同的平面.则下列说法正确的是(  )

    A.mnnαmα

    B.mββαmα

    C.mβnβnαmα

    D.mnnββαmα

    解析 Amnnα可得mαmα相交或mα错误;Bmββα可得mαmα相交或mα错误;Cmβnβ可得mnnα所以mα正确;Dmnnββα可得mαmα相交或mα错误.

    答案 C

    12.(2017·贵阳模拟)如图在正方形ABCDEF别是BCCD的中点沿AEAFEF把正方形折成一个四面体使BCD三点重合重合后的点记为PP点在AEF内的射影为O则下列说法正确的是(  )

    A.OAEF的垂心   B.OAEF的内心

    C.OAEF的外心   D.OAEF的重心

    解析 由题意可知PAPEPF两两垂直

    所以PA平面PEF从而PAEF

    PO平面AEF,则POEF因为POPAP

    所以EF平面PAO

    EFAO同理可知AEFOAFEO

    OAEF的垂心.

    答案 A

    13.如图已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形PA平面ABCPA2AB则下列结论中:PBAE平面ABC平面PBC直线BC平面PAE④∠PDA45°.

    其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).

    解析 PA平面ABCAE平面ABCPAAE

    又由正六边形的性质得AEABPAABAAE平面PABPB平面PABAEPB正确;又平面PAD平面ABC平面ABC平面PBC不成立错;由正六边形的性质得BCADAD平面PADBC平面PADBC平面PAD直线BC平面PAE也不成立错;在RtPADPAAD2AB∴∠PDA45°∴④正确.

    答案 ①④

    14.(2016·四川卷)如图在四棱锥PABCDPACDADBCADCPAB90°BCCDAD.

    (1)在平面PAD内找一点M使得直线CM平面PAB并说明理由.

    (2)证明:平面PAB平面PBD.

    (1) 取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点理由如下:

    因为ADBCBCAD.所以BCAMBCAM.

    所以四边形AMCB是平行四边形从而CMAB.

    AB平面PAB.CM平面PAB.

    所以CM平面PAB.

    (说明:取棱PD的中点N则所找的点可以是直线MN上任意一点)

    (2)证明 由已知PAABPACD.

    因为ADBCBCAD

    所以直线ABCD相交

    所以PA平面ABCD.

    BD平面ABCD

    PABD.因为ADBCBCAD

    MAD的中点连接BM所以BCMDBCMD.

    所以四边形BCDM是平行四边形

    所以BMCDAD所以BDAB.

    ABAPA所以BD平面PAB.

    BD平面PBD所以平面PAB平面PBD.

     

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