2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第3讲　变量间的相关关系与统计案例 (含解析)

第3讲　变量间的相关关系与统计案例

一、选择题

1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)

A.模型1的相关指数R2为0.98

B.模型2的相关指数R2为0.80

C.模型3的相关指数R2为0.50

D.模型4的相关指数R2为0.25

解析　相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好.

答案　A

2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A.＝0.4x＋2.3    B.＝2x－2.4

C.＝－2x＋9.5    D.＝－0.3x＋4.4

解析　因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足.

答案　A

3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(x，y)

C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

解析　∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；

∵回归直线经过样本点的中心(，)，∴B正确；

∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，

∴C正确.

答案　D

4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由K2＝算得，

K2＝≈7.8.

附表：

参照附表，得到的正确结论是(　　)

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析　根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.

答案　A

5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)

A.11.4万元    B.11.8万元

C.12.0万元    D.12.2万元

解析　由题意知，＝＝10，

＝＝8，

∴＝8－0.76×10＝0.4，

∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).

答案　B

二、填空题

6.若8名学生的身高和体重数据如下表：

第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________.

解析　设第3名学生的体重为a，则

(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712.解之得a≈50.

答案　50

7.(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.

根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________.

解析　由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.

答案　5%

8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

 由表中数据得回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度.

解析　根据题意知x＝＝10，y＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.

答案　68

三、解答题

9.(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－.

解　(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

 (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

 (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋

(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，

＝＝＝0.5，

＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为＝0.5t＋2.3.

(2)由(1)知，＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元.

将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

10.(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：

(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

附：K2＝

解　(1)“赞成定价者”的月平均收入为

x1＝≈50.56.

“认为价格偏高者”的月平均收入为

x2＝＝38.75，

∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).

(2)根据条件可得2×2列联表如下：

K2＝≈6.27<6.635，

∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

11.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：

 为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为＝－1.4x＋，那么方程中的值为(　　)

A.17   B.17.5   C.18   D.18.5

解析　＝＝5，

＝＝10.5，

∵回归直线过样本点的中心，

∴＝10.5＋1.4×5＝17.5.

答案　B

12.根据如下样本数据

 得到的回归方程为＝x＋，则(　　)

A.>0，>0    B.>0，<0

C.<0，>0    D.<0，<0

解析　作出散点图如下：

观察图象可知，回归直线＝x＋的斜率<0，当x＝0时，＝>0.故>0，<0.

答案　B

13.(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)

根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________.

附表：

解析　由列联表计算K2的观测值

k0＝≈5.556>5.024.

∴推断犯错误的概率不超过0.025.

答案　0.025

14.(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中wi＝，w＝wi.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

＝，α^＝－　

解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于

＝＝＝68，

＝y－＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值

＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.