2020版江苏高考数学一轮复习学案：第31课《三角形中的有关问题》(含解析)

____第31课__三角形中的有关问题____

会利用三角恒等变换及正、余弦定理并结合三角函数解决三角形中的有关问题.

1. 阅读：必修5第5～17页；必修4第16～38页；必修4第103～122页．

2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？你会证明吗？你能用几种方法证明？正弦定理的变形式有哪些？利用正、余弦定理分别可以解决哪些类型的斜三角形问题；②常用的三角形面积公式有哪些？③三角函数中的同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角、辅助角公式等还记得吗？能熟练运用吗？④重解必修4第116页例4和例5，重解必修5第9页例4，体会方法和规范．

3. 践习：在教材空白处，完成必修4 第112～113页习题第12、15题；第117～118页习题第4、6题；必修5第11页习题第7、8题；第17页习题第5、13题；第21页习题第6题；第24页习题第6、7题.

　基础诊断　

1. 在△ABC中，cosB＝－，cosC＝，则sinA＝____．

解析：由题意得sinB＝，sinC＝，则sinA＝sin(B＋C)＝.

2. 在△ABC中，已知点D在边BC上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为____.

解析：因为AD⊥AC，sin∠BAC＝，所以cos∠BAD＝sin＝，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝3，所以BD＝.

3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△ABC的形状是__直角三角形__．

解析：由＝，得＝，所以sinA·cosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π.因为cosA≠cosB，所以A＋B＝，所以△ABC是直角三角形．

4. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是__(，)__．

解析：因为A＝2B，由正弦定理 ＝得＝＝＝2cosB.因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－3B.因为△ABC是锐角三角形，所以A，B，C∈，所以B∈，所以∈(，)．

　范例导航　

考向❶  辅角公式在三角形中的应用

例1　在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.

(1) 求角B的大小；

(2) 求cosA＋cosC的最大值．

解析：(1) 由余弦定理及题设得

cosB＝＝.

因为0<B<π，所以B＝.

(2) 由(1)知A＋C＝，

所以cosA＋cosC＝cosA＋cos

＝cosA－cosA＋sinA，

＝cosA＋sinA＝cos.

因为0<A<，所以－<A－<.

当A－＝0，即A＝时， cosA＋cosC取得最大值1.

在△ABC中，已知(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC.

(1) 求角A的大小；

(2) 求sinB－cosC的最大值．

解析：(1) 因为(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝3sinBsinC，　

由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

所以b2＋c2－a2＝bc，cosA＝.

因为0<A<π，所以A＝.

(2) 由A＝得B＋C＝，

所以sinB－cosC＝sinB－cos

＝sinB－

＝sin.

因为0<B<，

所以<B＋<，

当B＋＝，即B＝时，sinB－cosC取得最大值为1.

【注】 本例突出训练运用公式acosα＋bsinα＝sin(α＋φ)，注意三角形中角的范围．

考向❷  三角恒等变形与解三角形

例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.

 (1) 求角B的大小；

(2) 设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

解析：(1) 在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acos得asinB＝acos，

即sinB＝cos(B－)，可得tanB＝.

又因为B∈(0，π)，可得B＝.

(2) 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.

由bsinA＝acos，可得sinA＝.

因为a<c，故cosA＝，

所以sin2A＝2sinAcosA＝，

cos2A＝2cos2A－1＝，

所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin(A＋C)＝8sin2.

(1) 求cosB；

(2) 若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b值．

解析：(1) 方法一：由题设及A＋B＋C＝π，

sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)，

上式两边平方，整理得 17cos2B－32cosB＋15＝0，解得 cosB＝1(舍去)，cosB＝.

方法二：由题设及A＋B＋C＝π，sinB＝8sin2，所以2sincos＝8sin2.

又sin≠0，所以tan＝，

cosB＝＝.

(2) 由cosB＝得sinB＝，

故S△ABC＝acsinB＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝，

由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4，所以b＝2.

【注】 本例突出两角和与差及二倍角公式在解三角形中的应用.

考向❸  三角形中的最值问题

例3　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.

(1) 求角A的大小；

(2) 若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值；

(3) 若a＝2，求△ABC的面积的最大值．

解析：(1) 根据正弦定理＝＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

因为acosC＋asinC－b－c＝0，

所以(2RsinA)cosC＋(2RsinA)sinC－2RsinB－2RsinC＝0，

即sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.①

由三角形内角和定理得sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，

代入①式得sinAcosC＋sinAsinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC＝0，

化简得sinAsinC－cosAsinC＝sinC.

因为sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，

即sin＝，

而0<A<π，－<A－<，

从而A－＝，解得A＝.

(2) 若a＝2，△ABC的面积为.

又由(1)得A＝，

则

化简得

解得b＝2，c＝2.

(3) 方法一：因为a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，

所以S＝bcsinA＝bc≤(当且仅当b＝c时取等号)．

方法二：由正弦定理＝＝得＝＝＝，

所以b＝sinB，c＝sinC，

所以S＝bcsinA＝bcsin＝bc

＝·sinB·sinC

＝sinB·sinC＝sinB·sin

＝(sin2B＋sinB·cosB)

＝sin＋.

因为B∈，所以2B－∈.

当2B－＝，即 B＝时，Smax＝.

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b2＋c2－a2)tanA＝bc.

(1) 求角A的大小；

(2) 若a＝2，求△ABC面积S的最大值．

解析：(1) 由已知得(b2＋c2－a2)＝bc.

又由余弦定理cosA＝，

所以sinA＝.

又△ABC是锐角三角形，所以A＝.

(2) 将A＝，a＝2代入(b2＋c2－a2)＝bc得b2＋c2＝bc＋4.

因为b2＋c2≥2bc，所以bc＋4≥2bc即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号．

所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤，

所以△ABC面积的最大值为.

【注】 本例重点学习三角形面积最值的两种处理方法：(1) 由余弦定理及基本不等式求最值；

(2) 由正弦定理化归成同名同角三角函数求最值，注意角的范围．

【变式题】 在例3(3)中求△ABC周长的取值范围．

解析：由(3)的方法二知

b＋c＋a＝b＋c＋2＝sinB＋sinC＋2

＝(sinB＋sinC)＋2

＝＋2

＝4sin＋2.

因为B∈，

所以B＋∈，

所以4sin＋2∈(4，6]，

所以△ABC的周长的取值范围为(4，6]．

　自测反馈　

1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2＝，则△ABC的形状为__直角三角形__．

解析：因为cos2＝，所以＝，解得cosB＝，由余弦定理得＝，所以a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．

2. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为____．

解析：由a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，即(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，

由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，

所以b2＋c2－a2＝bc，

故cosA＝＝，所以A＝60°，

又b2＋c2－4＝bc，4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c＝2时取等号，

所以S△ABC＝bcsinA≤.

3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝－，则角B的大小为____．

解析：由题意及正弦定理可知－＝－＝，整理得2sinAcosB＝－sin(B＋C)＝－sinA.因为sinA≠0，所以cosB＝－.又因为B∈(0，π)，所以B＝.

4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1) 若PB＝，则PA＝____；

(2) 若∠APB＝150°，则tan∠PBA＝____.

解析：(1) 由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2×××cos30°＝，故PA＝.

(2) 设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，即tan∠PBA＝.

1. 解综合题要观察每个已知条件的特点，找到它们的联系，这是解题的关键．

2. 恒等变形是基本功，变形的方向是关键，能在三角形这一特定背景下研究三角恒等变形，会借助于正余弦定理统一的化成边或角．

3. 一般地，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．

4. 三角形中范围或最值问题有两种处理方法：①用正弦定理转化成函数求范围，注意三角形中角的范围；②用余弦定理建立等量关系，再用基本不等式求最值．注意使用基本不等式的条件．想一想具体题目如何选择？

5. 你还有哪些体悟，写下来：