2020版江苏高考数学一轮复习学案：第66课《等差、等比数列在实际问题中的应用》(含解析)

第66课　等差、等比数列在实际问题中的应用

1. 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题.

2. 通过解决实际问题的过程，培养提出问题，分析问题，解决问题的能力.

1. 阅读：必修5第45～46页，第58～59页.

2. 解悟：①生活中的等差数列和等比数列模型；②体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法；③整理数列求和的常用方法.

3. 践习：在教材空白处，做第58、59页例题.

　基础诊断　

1. 用火柴棒按下图的方法搭.

……

按图示的规律搭下去，则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an＝　2n＋1　.

解析：由图可知，三角形的个数增加一个，则火柴棒的数量增加2，所以火柴棒数量an是一个首项为3，公差为2的等差列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

2. 某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个变成2个)，那么经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成　512　个.

解析：3×60÷20＝9(次)，29＝512(个)，故经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则这座塔的顶层共有灯　3　盏.

解析：设塔的顶层有a盏灯.由题意可知，各层的灯数构成一个首项为a，公比为2的等比数列，所以＝381，解得a＝3，故塔的顶层共有灯3盏.

4. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm，将梯形的一条腰10等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为　153　cm.

解析：因为是10等分，所以设上底a1，下底a11，根据梯形的中位线定理可知a1＋a11＝2a6，a2＋a10＝2a6，a3＋a9＝2a6，a4＋a8＝2a6，a5＋a7＝2a6，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9a6，a6＝＝＝17，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9×17＝153，故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.

　范例导航　

考向❶  等差数列模型

例1　流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.

解析：由题意知11月1日到n日，每天新感染者人数构成等差数列{an}，a1＝20，d1＝50，所以11月n日新感染者人数an＝50n－30.

从n＋1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列{bn}，b1＝50n－60，d2＝－30，所以这30天内感染该病毒的患者人数为＋(30－n)·(50n－60)＋×(－30)＝8 670，

化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍)，

即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.

考向❷  等比数列模型

例2　某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)  设n年内(本年为第1年)总投入An万元，旅游业总收入Bn万元，求An和Bn；

(2)  至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg 2≈0.301)

解析：(1)  第一年投入800万元，第二年投入800×万元，…，第n年投入800(1－)n－1万元，

所以n年内的总投入为An＝800＋800×＋…＋800×＝4 000－4 000×；　

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400万元，

所以n年内的旅游业总收入为Bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)n－1＝1 600×()n－1 600.

(2)  设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则Bn－An＞0，

即1 600×－1 600－4 000＋4 000×＞0，

化简得2×＋5×－7＞0.

设＝x，代入上式得2x2－7x＋5＞0，解得x＞或x＜1(舍去)，

即＞，两边取对数得nlg ＞lg ，

所以n＞≈4.103，即n≥5.

故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

考向❸  分期付款模型

例3　某工厂更新设备，在1993年初贷款100万元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，计划在10年内还清，年利率为13%，那么每年需偿还金额多少万元？

解析：方法一：设每年偿还金额为x万元，

则第一年末贷款余额为100(1＋13%)－x；

第二年末贷款余额为

[100(1＋13%)－x](1＋13%)－x＝100(1＋13%)2－[1＋(1＋13%)]x；

第三年末贷款余额为

{[100(1＋13%)－x](1＋13%)－x}(1＋13%)－x

＝100(1＋13%)3－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2]x，

……

所以第10年末贷款余额为

100(1＋13%)10－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2＋…＋(1＋13%)9]x，

所以100(1＋13%)10－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2＋…＋(1＋13%)9]x＝0，

解得x＝＝≈18.4，

故每年需偿还金额18.4万元.

方法二：10年内，借款的本利和为100(1＋13%)10万元，设每年偿还金额为x万元，则还款的本利和为x[(1＋13%)9＋(1＋13%)8＋…＋(1＋13%)＋1]万元，

由借款本利和等于分期付款的本利和，可得

100(1＋13%)10＝x[(1＋13%)9＋(1＋13%)8＋…＋(1＋13%)＋1]，

所以x＝＝≈18.4，

故每年需偿还金额18.4万元.

【注】 理解、记忆分期付款中建立方程的依据.

　自测反馈　

1. 有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，n小时后细胞总数为　3×2n＋4　.

解析：设n小时后的细胞总数为an，则a0＝7，且an＋1＝2(an－2)，即an＋1－4＝2(an－4)，所以数列{an－4}是首项为a0－4＝3，公比为2的等比数列，所以an＝3×2n＋4(n∈N).因此，n小时后的细胞总数为(3×2n＋4)个.

2. 植树节某班20名同学在一段直线公路的一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为　2 000　m.

解析：设放置在第x个树坑旁边，则s＝10×2·[(x－1)＋(x－2)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x)]＝20[＋]＝20(x2－21x＋210)，由对称轴方程为x＝10.5，知当x＝10或11时，s取得最小值2 000.

3. 某人为了购买商品房，从2008年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p，每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币总数为　　元.

解析：到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝.

4. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝　16　.

解析：由题意得每节竹竿的长度构成等差数列{an}，公差为d(d>0).

由题意知a1＝10，

an＋an－1＋an－2＝114，

a＝a1an，

则3an－1＝114，

解得an－1＝38，

所以(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，

即(10＋5d)2＝10(38＋d)，

解得d＝2，

所以an－1＝10＋2(n－2)＝38，

解得n＝16.

1. 数列应用题的一般思路：

(1) 读题分析，明确哪些量成等差数列，哪些成等比数列，哪些量给出的是递推关系；

(2) 应用相关数列知识解答.

2. 你还有那些体悟，写下来：