2020版江苏高考数学一轮复习学案：第22课《导数在实际问题中的应用》(含解析)

____第22课__导数在实际问题中的应用____

　　能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.

1. 阅读：选修11第93～98页．

2. 解悟：①实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？②总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？

3. 践习：在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.

　基础诊断　

1. 如图，将边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒．当铁皮盒底边长为__40cm__时，盒子的容积最大，最大容积是__16__000cm3__.

解析：设铁皮盒底边长为xcm，容积为V，

所以V(x)＝x2＝(0<x<60)，

则V′(x)＝60x－x2(0<x<60)．令V′(x)＝60x－x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40.因为当x∈(0，40)时，V′(x)>0；当x∈(40，60)时，V′(x)<0.所以V(x)在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V(x)max＝V(40)＝＝16 000.故当铁皮盒底边长40cm时，最大容积为16 000 cm3.

2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__3__．

解析：设圆柱的底面半径为r，则高为.

所以S表面积＝πr2＋2πr×＝πr2＋.

令f(r)＝πr2＋(r>0)，则f′(r)＝2πr＋＝.令f′(x)>0可得r>3，令f′(x)<0可得0<r<3.所以f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(r)在r＝3时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为3时，用料最省．

3. 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是____．

解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为(1－x2)，所以S＝(0<x<1)．令S(x)＝(0<x<1)，

则S′(x)＝·＝·.令S′(x)>0，得<x<1，令S′(x)<0得0<x<，所以当x＝时，S(x)取极小值，也是最小值，S＝，故S的最小值为.

　范例导航　

考向❶  利用导数研究用料最省、费用最低问题

例1　如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将直线l1与l2接通．已知AB＝60m，BC＝80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α.

(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式；

(2) 求排管的最小费用及相应的角α.

解析：(1) 如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M.

由题意得，∠MEF＝α，

故MF＝60tanα，EF＝，AE＋FC＝80－60tanα，

所以W＝(80－60tanα)×1＋×2＝80－60×＋120×＝80－60×(其中0≤α＜α0＜，tanα0＝)．

(2) 设f(α)＝(其中0≤α＜α0＜，tanα0＝)，则f′(α)＝.

令f′(α)＝0得sinα＝，即α＝.列表如下：

　　所以当α＝时，有f(α)max＝－，此时有Wmin＝80＋60.

故排管的最小费用为80＋60 万元，相应的角α＝.

  已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于____时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．

解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则S＝2πrh＋2πr2，V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝＋4πr.令S′＝0得r＝.因为S只有一个极值，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用材料最省．

考向❷  利用导数研究利润最大问题

　例2　根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p＝(日产品废品率＝×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润y＝日正品赢利额－日废品亏损额．

(1) 将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；

(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

解析：(1) 由题意可知，y＝2x(1－p)－px＝

(2) 考虑函数

f(x)＝

当 1≤x≤9时，f′(x)＝2－，

令f′(x)＝0，

得x＝15－3；

当1≤x<15－3时，f′(x)>0，函数f(x)在[1，15－3)上单调递增；

当15－3<x≤9时，f′(x)<0，函数f(x)在(15－3，9]上单调递减．

所以当x＝15－3时，f(x)取得极大值，也是最大值．

又x是整数，f(8)＝，f(9)＝9，

所以当x＝8时，f(x)有最大值；

当10≤x≤20时，f′(x)＝－＝≤0，所以函数f(x)在[10，20]上单调减，

所以当x＝10时，f(x)取得最大值.

由于>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．

故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是 千元．

某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产__6__千台．

解析：设利润为W万元，则W(x)＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3，所以W′(x)＝36x－6x2.令W′(x)＝0，解得x＝6或x＝0(舍去)．当x∈(0，6)，W′(x)>0，W(x)单调递增；当x∈(6，＋∞)，W′(x)<0，W(x)单调递减，故当x＝6时，W(x)取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台．

考向❸  利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题

　　例3　如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC＝.管理部门欲在该地从M到D修建小路．在上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.

(1) 设∠PBC＝θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；

(2) 求l的最小值．

解析：(1) 延长QP，交AB于点E，

则＝－θ.

在△BPE中，∠EPB＝θ，∠EBP＝－θ，∠BEP＝，所以EP＝sin，EB＝sinθ，

所以PQ＝2－sin，QD＝2－·sinθ，

所以l＝－θ＋2－sin＋2－·sinθ＝4－2sin＋－θ.

(2) l′＝－2cos－1，令l′<0，

即－2cos－1<0，解得0<θ<；

令l′>0，即－2cos－1>0，

解得<θ<.

所以当θ＝时，l有最小值4－＋，

故l的最小值为百米．

　自测反馈　

1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，当其表面积最小时，底面边长为____．

解析：设底面边长为a，高为h，表面积为S.

V＝a2×h，所以h＝，则表面积S＝3ah＋2×a2＝a2＋，所以S′＝a－.令S′＝a－＝0，解得a＝.当0<a<时，S′<0，当a>时，S′>0，所以当a＝时，S取极小值也是最小值，所以底面边长为.

2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高度应为__cm__．

解析：设圆锥的高为h，则底面半径为，所以其体积V＝π(202－h2)h(0<h<20)，所以V′＝(400－3h2)．令V′＝0，即(400－3h2)＝0，解得h＝或h＝－(舍去)．当0<h<时，V′>0；当<h<20时，V′<0，所以当h＝时，V取最大值，故其高度应为 cm.

3. 若球的半径以2cm/s的速度膨胀，当半径为5cm时，表面积对时间的变化率是__80π__．

解析：球的表面积为S＝4πR2.由题意得＝2，所以Δt＝，所以＝＝，

因为＝S′＝8πR，所以＝16πR.当R＝5时，＝80π，所以表面积对时间的变化率为80π.

4. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理1吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？

解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本

P(x)＝＝

①当x∈[10，30)时，P(x)＝x2＋，

所以P′(x)＝x－＝，

所以当x∈[10，20)时，P′(x)<0，函数P(x)在区间[10，20)上单调递减；

当x∈[20，30)时，P′(x)>0，函数P(x)在区间[20，30)上单调递增，

所以当x＝20时，P(x)取得最小值为P(20)＝＋＝48.

②当x∈[30，50]时，P(x)＝x＋－40≥2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时，P(x)取得最小值为P(40)＝40，

因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．

1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原．

2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解．

3. 你还有哪些体悟，写下来：