2020版江苏高考数学一轮复习学案：第39课《直线的倾斜角和斜率》(含解析)

____第39课__直线的斜率与倾斜角____

1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，了解直线的倾斜角的取值范围．

2. 理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能解决“直线的倾斜角”和“直线的斜率”相互转化问题．

3. 能利用倾斜角和斜率反映直线倾斜程度的特性，培养数形结合思想.

1. 阅读：必修2第77～79页．

2. 解悟：①在平面直角坐标系中用什么量来刻画直线的倾斜程度？斜率的公式k＝(x1≠x2)，当x1＝x2时如何？这样的直线的斜率如何？这条直线有什么特征，怎样表示？②直线的倾斜角α的取值范围合理确定，直线倾斜角与斜率之间的关系如何？

3. 践习：①按照第78页例2，画出符合要求的直线；②在教材空白处，完成第80页练习第1题(4) (5) (6)、3、6题.

　基础诊断　

1. 下列命题：①根据直线倾斜角的大小不能确定直线的位置；②平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；③若直线的倾斜角为α，则sinα>0；④若直线的斜率为k＝tanα，则这条直线的倾斜角为α.其中正确的命题的个数为__1__．

解析：根据直线倾斜角的大小不能确定直线的位置，①正确；平面内任何一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在，故②错；当α＝0时，sinα＝0，故③错；直线的斜率为k＝tanα，则α可以是任意角，只要tanα有意义，所以α可以不在倾斜角的范围，故④错．

2. 经过两点A(0，0)，B(1，)的直线l的斜率k＝____，倾斜角α＝__60°__．

解析：由题意得k＝＝，倾斜角α＝60°.

3. 已知点P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ的斜率为1，则实数m的值为__1__．

解析：由过两点的斜率公式可得k＝＝1，解得m＝1.

4. 若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)在同一条直线上，则实数a＝__4__．

解析：设直线AC的斜率为k，则k＝＝1.又因为点B在直线AC上，所以＝1，则a＝4.

　范例导航　

考向❶  直线的倾斜角与斜率之间的关系

　例1　若三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为__α1<α2<α3__．

解析：设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，由tanα1＝k1＝1>0，所以α1∈.tanα2＝k2＝－<0，所以α2∈，所以α2>α1.又因为tanα3＝k3＝－<0，所以α3∈，所以α3>α1，而－<－，因为正切函数在上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.

已知经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y的值为__－3__．

解析：由＝＝y＋2＝tan，得y＋2＝－1，所以y＝－3.

考向❷  求直线倾斜角与斜率

例2　已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率．

解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，

由题意可知tan2α＝，所以＝.

整理得3tan2α＋8tanα－3＝0，

解得tanα＝或tanα＝－3.

因为tan2α＝>0，所以0°<2α<90°，

所以0°<α<45°，所以tanα>0，

故直线l的斜率为.

如图，已知直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率．

解析：直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝.

因为直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，

所以直线l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－.

考向❸  求直线的倾斜角与斜率的取值范围

　例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)  求直线l的斜率k的取值范围；

(2)  求直线l的倾斜角α的取值范围．

解析：设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.

如图，由题意可知，kPA＝＝－1，kPB＝＝1.

(1)  要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)  由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．

又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

所以α的取值范围是[45°，135°]．

已知两点A(－1，2)，B(m，3)．

(1) 求直线AB 的斜率k；

(2) 若实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．

解析：(1) 当m＝－1时，直线AB的斜率k不存在；

当m≠－1时，直线AB的斜率k＝.

(2) ①当m＝－1时，直线AB的倾斜角α＝；

②当m≠－1时，直线AB的斜率k＝，

因为m∈，

所以k＝∈(－∞，－]∪.

由k＝tanα，α∈[0，π)得α∈[，)∪(，]．

由①②可知，直线AB的倾斜角α的取值范围是.

【备用题】 设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，求直线l的倾斜角α的取值范围．

解析：当cosθ＝0时，直线l的倾斜角为.

当cosθ≠0时，直线l的斜率为k＝－.

因为cosθ∈[－1，1]，

所以－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

所以倾斜角α∈∪.

综上，α∈.

　自测反馈　

1. 若α为直线l的倾斜角，且sinα＝，则直线l的斜率为__或－__．

解析：因为α为直线l的倾斜角，所以α∈[0，π)．又因为sinα＝，所以tanα＝或－，即直线l的斜率为或－.

2. 直线x－y＋a＝0的倾斜角为__60°__．

解析：直线x－y＋a＝0的斜率k＝，所以倾斜角为60°.

3. 若斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＝__4__，b＝__－3__．

解析：由题意得解得

4. 若直线的倾斜角α满足<tanα<，则α的取值范围是____．

解析：因为<tanα<，所以tan<tanα<tan，所以α∈.

1.  深刻领悟经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率是P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点分别在y轴与在x轴上投影的坐标差的比值，求它们差的“方向”要一致．

2.  直线的斜率k与倾斜角α的关系为：k＝tanα.当α∈时，k∈[0，＋∞)；当α∈时，k∈(－∞，0)．实质上是正切函数y＝tanα在[0，π)上的单调性．

3. 你还有哪些体悟，写下来：