2020版江苏高考数学一轮复习学案：第53课《平面向量的有关概念及其线性运算》(含解析)
展开第53课 平面向量的有关概念及其线性运算
1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.
2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理.
3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义.
1. 阅读：必修4第59～73 页.
2. 解悟：①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71 页例4中两个不共线的向量，可以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？
3. 践习：在教材空白处，完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题.
基础诊断
1. 给出下列命题：①若∥，则与共线；②若＝，则∥；③若＝，则＝；④若∥，则A，B，C三点共线.其中，正确的命题是 ①②③④ .(填序号)
解析：①根据向量平行的定义可知，平行即共线，所以若∥，则与共线正确；②根据相等向量的定义可知，若＝，则与的方向相同，故∥正确；③若＝，则－＝－，即＝，故③正确；④若均不为零向量，若∥，则A，B，C三点共线显然成立.若有一个为零向量，则其中有两个点重合，三点共线依旧成立，故④正确.故选①②③④.
2. 化简：－＋－＝ .
解析：原式＝＋＋＋＝＋＝.
3. 若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是 直角三角形 .
解析：因为|－|＝|＋－2|，所以||＝|＋|.以线段AB和AC为邻边画出平行四边形ABDC，则＋＝.因为||＝|－|＝|＋|，所以平行四边形的两条对角线相等，所以平行四边形是矩形，所以∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形.
4. 如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为 2 .
解析：因为O是BC的中点，所以＝(＋).又因为＝m，＝n，所以＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.
范例导航
考向❶ 平面向量的加减法
例1 如图所示，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f.试用a，b，c，d，e，f表示：
(1) －；
(2) ＋＋；
(3) －－.
解析：(1) 因为＝b，＝d，
所以－＝＝－＝d－b.
(2) 因为＝a，＝b，＝c，＝e，＝f，
所以＋＋＝(－)＋(－)＋(－)＝(b－a)＋(f－c)＋(e－b)＝e＋f－a－c.
(3) 因为＝e，＝f，
所以－－＝－(＋)＝－＝＝－＝f－e.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝ .
解析：－－＋＋＝(－)－＋(＋)＝－＋＝.
考向❷ 平面向量的线性运算
例2 如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，其中＝，＝，试用a，b表示，，.
解析：因为＝－＝a－b，＝＝a－b，
所以＝＋＝a＋b.
又因为＝a＋b，
所以＝＋＝＋＝＋＝＝a＋b，
所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上可知，＝a＋b，＝a＋b，
＝a－b.
如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为 Ｗ.
解析：因为＝，所以＝4，所以＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝.
考向❸ 三点共线向量式
例3 在△OAB中，已知P为线段AB上的点，＝x＋y.
(1) 若＝3，求x＋y的值；
(2) x＋y是否为定值？请证明你的结论.
解析：(1) 因为＝3，
所以＋＝3＋3，即4＝＋3，
所以＝＋，
所以x＝，y＝，所以x＋y＝1.
(2) x＋y为定值1，证明如下：
因为P为线段AB上的一点，所以与共线，
即存在实数λ使得＝λ(λ≥0)，
所以＋＝λ＋λ，
即＝＋.
又，不共线，所以x＝，y＝，
从而x＋y＝1.
已知M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋，N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则x＝ ，y＝ .
解析：由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ.
因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
所以λ＝，所以＝.
因为＝x＋y，
所以
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线，得解得
自测反馈
1. 在正六边形ABCDEF中，＋＋＝ .
解析：根据正六边形的性质得＋＋＝＋＋＝＋＝.
2. 若a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝ 2 .
解析：由题意可得，a＝－b，所以|a－b|＝|－2b|＝2|b|＝2.
3. 已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－4＋3＝0，则＝ 3 .
解析：因为－4＋3＝0，所以－－3(－)＝0，所以＝3，即＝3，所以＝3.
4. 已知在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则xy＝ － .
解析：由题意得，＝，＝.因为＝＋＝＋＝＋(－)＝－，所以x＝，y＝－，所以xy＝－.
1. 向量是自由向量，可以任意平移，方向和大小是决定向量的两个要素.
2. 注意向量运算中的三角形法则，加法需首尾相连，减法需共起点.
3. 你还有哪些体悟，写下来：
