2020届高考数学一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 22(含解析)

【课时训练】第22节　解三角形的综合应用

一、选择题

1.(2018福州质检)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.75°

答案为：B

解析：依题意可得AD=20，AC=30，

又CD=50，所以在△ACD中，

由余弦定理，得cos∠CAD=

===.

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°.

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

2.(2018陕西渭南质检)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)

A.11.4 km B.6.6 km

C.6.5 km　 D.5.6 km

答案为：B

解析：∵AB=1 000×=(km)，

∴BC=·sin 30°=(km).

∴航线到山顶的距离h=×sin 75°=×sin(45°＋30°)≈11.4(km).

∴山高为18－11.4=6.6(km).

3.(2018四川资阳模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC=α，∠ACB=β，则A，B两点间的距离为(　　)

A.　 B.　　

C. D.

答案为：C

解析：在△ABC中，∠ABC=π－(α＋β)，AC=m，由正弦定理，得=，所以AB==.

4.(2018辽宁庄河高中月考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A.a km　　　 B.a km

C.2a km D.a km

答案为：D

解析：由题意知∠ACB=180°－20°－40°=120°.在△ABC中，由余弦定理知AB==a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.

5.(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)

A.20m　 B.20(1＋)m

C.10(＋)m  D.20(＋)m

答案为：B

解析：如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线.由题意知AB=20 m，∠DAE=45°，∠CAE=60°，故DE=20 m，CE=20　m.所以CD=20(1＋)m.故选B.

6.(2018武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)

A.14 h　　 B.15 h　　

C.16 h D.17 h

答案为：B

解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA=600，AB=20t，∠OAB=45°，根据余弦定理得OB2=6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120　t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－=15(h).故选B.

7.(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：由题意得sin2A＜sin2B＋sin 2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.则cos A=＞0，因为0＜A＜π，所以0＜A＜.又a为最大边，所以A＞.因此角A的取值范围是.故选D.

二、填空题

8.(2018贵阳模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

答案为：50

解析：如图，连接OC，在△OCD中，OD=100，CD=150，∠CDO=60°.

由余弦定理，得OC2=1002＋1502－2×100×150×cos 60°=17 500，解得OC=50.

9.(2018河南三门峡一模)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.

答案为：70

解析：设两船之间的距离为d，则d2=502＋302－2×50×30×cos 120°=4 900，解得d=70，即两船相距70 n mile.

10.(2019德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向.则此时货轮到灯塔S的距离为________海里.

答案为：12　

解析：根据题意知，在△ABS中，AB=24，∠BAS=30°，∠ASB=45°，由正弦定理，得=，

∴BS==12　，故货轮到灯塔S的距离为12　海里.

11.(2018河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为________米.

答案为：1 000

解析：由题图知∠BAS=45°－30°=15°，∠ABS=45°－15°=30°，∴∠ASB=135°.在△ABS中，由正弦定理可得=，∴AB=1 000　，∴BC==1 000.

12.(2018北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.

答案为：　45

解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tan α，BB1=60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴=，

∴AA1·BB1=900，∴3 600tan αtan 2α=900，∴tan α=，tan 2α=，∴BB1=60tan 2α=45.