2020届高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 28(含解析)

【课时训练】第28节　等差数列及其前n项和

一、选择题

1.(2018上饶二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－=1，则其公差d=(　　)

A.　　 B.2　　

C.3　　 D.4

答案为：B

解析：由－=1，得－=1，即a1＋d－=1，∴d=2.

2.(2018西藏拉萨模拟考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=8，S6=54，则数列{an}的公差为(　　)

A.2　 B.3　 

C.4 D.

答案为：A

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3=a1＋2d=8，S6=6a1＋15d=54，解得a1=4，d=2.故选A.

3.(2018石家庄模拟)已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)=48，则数列{an}的前13项之和为　(　　)

A.24　　 B.39　　

C.104　　 D.52

答案为：D

解析：因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)=6a4＋6a10=48.所以a4＋a10=8.其前13项的和为===52，故选D.

4.(2018广州综合测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3＋ak=24，则正整数k的值为　(　　)

A.9　　 B.10　　

C.11　　 D.12

答案为：A

解析：依题意，得S11==11a6=132，a6=12，于是有a3＋ak=24=2a6，因此3＋k=2×6=12，k=9，故选A.

5.(2018武汉调研)已知数列{an}满足an＋1=an－，且a1=5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为　(　　)

A.7　　 B.8　　

C.7或8　　 D.8或9

答案为：C

解析：由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an=5－(n－1)=.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n=7或8.故选C.

6.(2018江西抚州质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若=，则=(　　)

A.4　 B.2　 

C. D.

答案为：D

解析：设等差数列{an}的公差为d，则=，可得a1=d，故===.故选D.

7.(2018杭州质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若＜－1，则　(　　)

A.Sn的最大值是S8　　 B.Sn的最小值是S8

C.Sn的最大值是S7　　 D.Sn的最小值是S7

答案为：D

解析：由条件，得＜，即＜，

所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列.又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零.所以Sn的最小值为S7.故选D.

8.(2018内蒙古呼和浩特普查调研)在等差数列{an}中，已知a3=5，a7=－7，则S10的值为(　　)

A.50　 B.20　

C.－70　 D.－25

答案为：D

解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3=4d=－12，∴d=－3，∴a10=a7＋3d=－16，a1=a3－2d=11，∴S10==－25.故选D.

二、填空题

9.(2018肇庆二模)在等差数列{an}中，a15=33，a25=66，则a35=________.

答案为：99

解析：∵a25－a15=10d=66－33=33，∴a35=a25＋10d=66＋33=99.

10.(2018郑州二次质量预测)已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=________.

答案为：－1

解析：因为a5是a3与a11的等比中项，所以a=a3·a11，即(a1＋4d)2=(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1=－1.

11.(2019河北保定调研)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有=，则＋的值为________.

答案为：

解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋=＋==.因为====，所以＋=.

12.(2018辽宁五校联考)设数列{an}的通项公式为an=2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=________.

答案为：130

解析：由an=2n－10(n∈N*)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an=2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)=20＋110=130.

三、解答题

13.(2018深圳二次调研)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk=110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项bn=，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

【解】(1)设该等差数列为{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，

由已知有a＋3a=8，得a1=a=2，公差d=4－2=2，

所以Sk=ka1＋·d=2k＋×2=k2＋k.

由Sk=110，得k2＋k－110=0，

解得k=10或k=－11(舍去)，

故a=2，k=10.

(2)由(1)，得Sn==n(n＋1)，则bn==n＋1，

故bn＋1－bn=(n＋2)－(n＋1)=1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn==.