2020届高考数学一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 19(含解析)

【课时训练】第19节　函数y=Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、选择题

1.(2018临沂期末)函数f(x)=sin，x∈R的最小正周期为(　　)

A. B.π

C.2π D.4π

答案为：D

解析：最小正周期为T==4π，故选D.

2.(2018贵阳监测)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，则f(x1＋x2)=(　　)

A.　　 B.　　

C.　 D.1

答案为：B

解析：由题图可知，=－=，则T=π，ω=2.又=， ∴f(x)的图象过点，即sin=1，得φ=，∴f(x)=sin.∵x1，x2∈∴0<2x＋<π，∴f(x)的对称轴方程为x=.又f(x1)=f(x2)，

∴f(x1＋x2)=f=sin=sin=.

3.(2019邢台摸底)先把函数f(x)=sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g(x)的图象.当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)

A. B.

C.  D.[－1,0)

答案为：A

解析：依题意得g(x)=sin=sin，当x∈时，

2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是.故选A.

4.(2018邯郸模拟)下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x=对称；(3)在上是减函数”的是(　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=cos(2x＋)　　 D.y=sin

答案为：D

解析：易知函数y=sin的最小正周期为4π，故排除A；当x=时，y=sin=0，故排除B；当x∈时，2x＋∈，函数y=cos单调递增，故排除C；对于函数y=sin(2x＋)，可知其最小正周期T==π，将x=代入得，y=sin=1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x=对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可知函数y=sin(2x＋)在上是减函数.故选D.

5.(2018江南十校联考)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且f=1，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A.　 B.

C. D.

答案为：A

解析：由f(x)=sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω=，∵f=1，∴×＋φ=＋2mπ(m∈Z)，即φ=＋2mπ(m∈Z).由|φ|＜，得φ=，故f(x)=sin.令x＋=kπ(k∈Z)，得x=2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k=0时， f(x)的对称中心为.故选A.

6.(2018河南六市联考)将奇函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(　　)

A.6　　 B.3　　

C.4 D.2

答案为：A

解析：由函数为奇函数得φ=kπ(k∈Z)，又－＜φ＜，∴φ=0，∴y=Asin ωx.由函数图象向左平移个单位得到函数y=Asin=Asin，其图象关于原点对称，∴有ω=kπ(k∈Z)，即ω=6k(k∈Z)，当k=1时， ω=6.故选A.

二、填空题

7.(2018江西上饶一模)已知函数f(x)=3sin(ω＞0)和g(x)=3cos(2x＋φ)的图象完全相同.若x∈，则f(x)的值域是________.

答案为：

解析： f(x)=3sin=3cos

=3cos，

∵f(x)与g(x)的图象完全相同，∴ω=2，

则f(x)=3sin，∵x∈，

∴－≤2x－≤，∴－≤f(x)≤3.

8.(2018郑州质量预测)如图，函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1,0)，∠PQR=，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为________.

答案为：

解析：依题意得，点Q的横坐标是4，点R的纵坐标是－4，T==2|PQ|=6，∴ω=，∵f=Asin=A＞0，即sin=1.又|φ|≤，∴≤＋φ≤，因此＋φ=，φ=－.又点R(0，－4)在f(x)的图象上，所以Asin=－4，A=.

9.(2018昆明摸底)设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f=f=－f，则f(x)的最小正周期为________.

答案为：π

解析：因为f(x)在区间上具有单调性，

所以≥－，即T≥.又f=f，

所以x=和x=均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x==.又因为f=－f，且f(x)在区间上具有单调性，

所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.

故函数f(x)的最小正周期T=4×=π.

三、解答题

10.(2018成都七中调研)已知函数f(x)=sin xcos x－cos2x－.

(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值及相应的自变量x的值；

(2)在直角坐标系中做出函数f(x)在区间[0，π]上的图象.

【解】(1)f(x)=sin 2x－cos 2x－1=sin－1，当x∈时，2x－∈.

故当2x－=，即x=时， f(x)在区间上取得最大值0，当2x－=－，即x=－时， f(x)在区间上取得最小值－－1.

(2)当x∈[0，π]时，2x－∈.

列表：

描点、连线，得所求图象如图所示：