2020届高考数学一轮复习课时训练：第5章 平面向量 26(含解析)

【课时训练】第26节　平面向量的综合应用

一、选择题

1.(2018保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|=|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案为：B

解析：＋－2=－＋－=＋，－==－，所以|＋|=|－|⇒|＋|2=|－|2⇒·=0，所以三角形为直角三角形.故选B.

2.(2018贵阳考试)设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)

A.32 B.24

C.20 D.16

答案为：B

解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则·=4x＋2y≤4×4＋2×4=24，当且仅当=时取等号，故选B.

3.(2018重庆一诊)已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且＋=，则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.3 B.4

C.3 D.4

答案为：B

解析：由题设＋=，可知四边形ABDC是平行四边形.由圆内接四边形的性质可知∠BAC=90°，且当AB=AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax=AB·AC=×(2)2=4.故选B.

4.(2018邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m=，n=，p=共线，则△ABC形状为(　　)

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

答案为：A

解析：由题意得acos=bcos，acos=ccos，由正弦定理得sinAcos=sinBcos⇒sin=sin⇒B=A，同理可得C=A，所以△ABC为等边三角形.故选A.

5.(2018沈阳模拟)已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足||·||＋·=0，则点P的轨迹的曲线类型为(　　)

A.双曲线 B.抛物线

C.圆 D.椭圆

答案为：B

解析：=(3,0)－(－3,0)=(6,0)，||=6，=(x，y)－(－3,0)=(x＋3，y)，=(x，y)－(3,0)=(x－3，y)，所以||·||＋·=6＋6(x－3)=0，化简可得y2=－12x.故点P的轨迹为抛物线.故选B.

6.(2018西安二模)称d(a，b)=|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|=1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)

A.a⊥b B.a⊥(a－b)

C.b⊥(a－b) D.(a＋b)⊥(a－b)

答案为：C

解析：由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|=1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ=4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b=1.于是b·(a－b)=a·b－|b|2=1－12=0，所以b⊥(a－b).故选C.

二、填空题

7.(2018长春模拟)在△ABC中，若·=·=2，则边AB的长等于________.

答案为：2

解析：由题意知·＋·=4，

即·(＋)=4，即·=4，

所以||=2.

8.(2019重庆调研)已知|a|=2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b=0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.

答案为：

解析：由已知可得Δ=|a|2＋4a·b=0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ=0，所以cos θ=－，又因为0≤θ≤π，所以θ=.

9.(2018四川成都模拟)在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2=1上任意一点，则·的最大值为________.

答案为：6＋19

解析：由题意得=(x＋3，y＋3)，=(x－3，y＋3)，所以·=(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3)=x2＋y2－9＋6y＋27=6y＋19≤6＋19，当且仅当y=1时取最大值.

10.(2018广西模拟)已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31=0上存在一点P使得·=0，则m的最大值为________.

答案为：6

解析：圆C：(x－4)2＋(y－4)2=1，圆心C(4,4)，半径r=1，设P(x0，y0)，则=(1－m－x0，－y0)，=(1＋m－x0，－y0)，所以·=(1－x0)2－m2＋y=0，即m2=(x0－1)2＋y.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值.因为|PM|的最大值为|MC|＋1=＋1=6，所以m的最大值为6.

三、解答题

11.(2018临沂模拟)已知向量m=(sin α－2，－cos α)，n=(－sin α，cos α)，其中α∈R.

(1)若m⊥n，求角α.

(2)若|m－n|=，求cos 2α的值.

【解】(1)向量m=(sin α－2，－cos α)，

n=(－sin α，cos α)，

若m⊥n，则m·n=0，

即为－sin α(sin α－2)－cos2α=0，

即sin α=，可得α=2kπ＋或2kπ＋，k∈Z.

(2)若|m－n|=，即有(m－n)2=2，

即(2sin α－2)2＋(2cos α)2=2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α=2，

即有8－8sin α=2，可得sin α=，

即有cos 2α=1－2sin2α=1－2×=－.

12.(2018山东德州一模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(sin A，sin B)，n=(cos B，cos A)，m·n=sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)=18，求边c的长.

【解】(1)m·n=sin A·cos B＋sin B·cos A=sin(A＋B)，

对于△ABC，A＋B=π－C,0＜C＜π，

∴sin(A＋B)=sin C，

∴m·n=sin C，

又m·n=sin 2C，∴sin 2C=sin C，

∴cos C=，C=.

(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C=sin A＋sin B，

由正弦定理得2c=a＋b.

∵·(－)=18，

∴·=||·||·cos C=abcos C=18，∴ab=36.

由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=(a＋b)2－3ab，

∴c2=4c2－3×36，∴c2=36，∴c=6.