2020届高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 29(含解析)

【课时训练】第29节　等比数列及其前n项和

一、选择题

1.(2018贵州遵义四中段测)设数列{an}满足2an=an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为(　　)

A. B.

C.4  D.2

答案为：A

解析：由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故==.故选A.

2.(2018河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=3，a9=a2a3a4，则公比q的值为(　　)

A.　　　 B.　　

C.2  D.3

答案为：D

解析：由a9=a2a3a4得a1q8=aq6，所以q2=a.因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q=a1=3.

3.(2018辽宁沈阳二中质检)在等比数列{an}中，a5a11=3，a3＋a13=4，则=(　　)

A.3　　  B.－

C.3或  D.－3或－

答案为：C

解析：根据等比数列的性质得化简得3q20－10q10＋3=0，解得q10=3或，所以==q10=3或.

4.(2018江苏泰州模拟)已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)

A.　　　 B.

C.－ D.或

答案为：B

解析：设{an}的公比为q(q＞0).由a3=a2＋a1，得q2－q－1=0，解得q=.从而=q=.

5.(2018广东珠海综合测试)在数列{an}中，“an=2an－1，n=2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)

A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件

答案为：B

解析：当an=0时，也有an=2an－1，n=2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有=2，n=2,3,4，…，即an=2an－1，n=2,3,4，…，所以必要性成立.故选B.

6.(2019辽宁盘锦高中月考)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8=8，则Ⅱ9=(　　)

A.512　　 B.256　　

C.81  D.16

答案为：A

解析：由题意知，a3a4a7q=a3a7a4q=a3a7a5=a=8，Ⅱ9=a1a2a3…a9=(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5=a，所以Ⅱ9=83=512.

7.(2018湖南浏阳一中月考)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lg an，b3=18，b6=12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)

A.126　　 B.130

C.132  D.134

答案为：C

解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lg a3=b3，lg a6=b6.又b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，∴q3=10－6，即q=10－2，∴a1=1022.∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d=－2，b1=22，故bn=22＋(n－1)×(－2)=－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn=22n＋×(－2)=－n2＋23n=－2＋.又n∈N*，故n=11或12时，(Sn)max=132.

二、填空题

8.(2018河南洛阳统考)已知{an}为等比数列，且a3＋a6=36，a4＋a7=18.若an=，则n=________.

答案为： 9

解析：设{an}的公比为q，由a3＋a6=36，a4＋a7=(a3＋a6)q=18，解得q=，由a1(q2＋q5)=36得a1=128，进而an=128·n－1=n－8.由an=，解得n=9.

9.(2018天津六校联考)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|=________.

答案为：15

解析：由题意得an=(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|=1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|=15.

10.(2018福建上杭一中月考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm=________.

答案为：

解析：设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5=105，a10=2a5，得解得a1=7，d=7，因此an=a1＋(n－1)d=7＋7(n－1)=7n(n∈N*).对任意的m∈N*，若an=7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm=72m－1，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm===.

三、解答题

11.(2018湖北鄂东南联盟期中联考)已知数列{an}满足a1=，an＋1=10an＋1.

(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足bn=lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn＜.

(1)【解】由an＋1=10an＋1，得an＋1＋=10an＋=10，所以=10，所以数列是等比数列，首项为a1＋=100，公比为10.

所以an＋=100×10n－1=10n＋1，所以an=10n＋1－.

(2)【证明】由(1)可得bn=lg=lg 10n＋1=n＋1，

所以==－，

所以Tn=＋＋…＋=－＜，

所以Tn＜.

12.(2018长沙模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn=8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列.

(1) 【解】当n=2时，4S4＋5S2=8S3＋S1，

即4＋5=8＋1，

解得a4=.

(2)【证明】由4Sn＋2＋5Sn=8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得

4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1=4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an=4an＋1(n≥2).

∵4a3＋a1=4×＋1=6=4a2，∴4an＋2＋an=4an＋1(n∈N*).

∴====.

∴数列是以a2－a1=1为首项，为公比的等比数列.