专题6 导数及其应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题6 导数及其应用一、单选题1．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为(   )A． B． C． D．【答案】C【解析】的解集即为的解集构造函数，则，因为，所以所以在上单调递增，且所以的解集为，不等式的解集为.故选C.2．函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．3．已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，则，则，令，，则，∴递增，∴时，，∴有唯一零点，∴时，取最小值，即取最小值，．故选：C4．已知，记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则（    ）A．当时，； B．当时，；C．当时，； D．当时，.【答案】D【解析】，设，又，.①当时，在上单调递减，从而.；②当时，即时；在上单调递增，从而，；③当时，在上单调递减，在上单调递增，从而；.由此选项A和B都不一定恒正确，排除掉A和B选项.对于选项C：当时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则成立；对于情形③，则，的大小无法确定，故选项C错误.对于选项D：当时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则成立；对于情形③，由于，因此，从而，因此正确.故选：D.5．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因为，所以，即在上单调递增，故在上恒成立，即，令.则，max，即的取值范围为.故选A.6．已知函数且则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知， 是偶函数，且当时，，在区间上，函数单调递增，， 原不等式等价于，即，即，解得：，即不等式的解集是.故选：C7．已知函数，若，则实数的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】，函数为偶函数，由则，当时， 令，则，所以在为增函数，，所以，即，所以函数在为增函数，又因为函数在定义域内为偶函数，则在为减函数， 由，则，所以，化简可得，所以.故选：A8．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，定义域为的函数满足，，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D．9．已知是函数的极大值点，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，，当时，时，，单调递减，而，时，，，且，，即在上单调递增，时，，，且，，即在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意.当时，存在使得，即，，又在上单调递减，时，，，这与是函数的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是.故选：B10．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得，函数的图象关于点对称，故的图像关于原点对称，故是奇函数，由函数对于任意的满足，令，故，所以函数在上单调递减，由，则为偶函数， 所以 即，即，故选：B 二、填空题11．已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.【答案】【解析】满足的有个，方程有4个根，设，则，令，得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，，画出函数的大致图象，如图所示：，保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，即可得到函数的图象如下图所示：
 令，则，所以要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，设，因为，则只需，解得：，因此，实数的取值范围是.故答案为：.12．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极大值 ，，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.13．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.【答案】【解析】，，由题意可得，即，，化简可得，即，而，，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，所以，，因此，的取值范围为.故答案为：.14．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当 时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】令，则当 时， 单调递增，且 .因为等价于，即g(x)<g()，又为偶函数，所以，故，故不等式的解集为 . 三、解答题15．已知函数．（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，函数的定义域为，，当时，，函数在区间上单调递增，此时，函数在定义域上无最大值；当时，令，得，由，得，由，得，此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．所以函数，即为所求；（2）由，因为对任意的恒成立，即，当时，对任意的恒成立，，，，只需对任意的恒成立即可．构造函数，，，，且单调递增，，，一定存在唯一的，使得，即，，且当时，，即；当时，，即.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，因此，的最小整数值为.16．已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线与函数的图象有两个不同的交点和，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）函数的定义域为，其导函数为，若函数在区间上单调递增，则当时，恒成立，即恒成立，所以．（2）不存在直线使得．理由：假设存在，由题意可知，，，，．因为，即，所以，即，令，则上式化为构造，则，显然，在和上都单调递增，又因为，所以方程无解．综上，不存在直线使得17．已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）令，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.（2）由已知，，依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以有3个根，令，则，当时，，当时，，当时，，故在单调递减，在，上单调递增，作出的图象，易得.故实数的取值范围为.18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的图象与函数的图象交于，两点，且（为自然对数的底数），求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）依题意，，.①若，则，故在上单调递增②若，令，解得.则当时，，单调递增，当时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则由题意可知有两个大于的实数根，令，则有两个大于的零点.因为，则当，时，，单调递减；当时，，单调递增；又当时，所以，要使函数在有两个零点，当且仅当：解得；综上所述，实数的取值范围是.19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”．（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；（3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”．【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）函数是“函数”，理由如下：因为，则，当时，；当时，，所以函数的极大值，故函数是“函数”；（2）函数的定义域为，.当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的极大值为，易知，解得，因此，实数的取值范围是；（3） ，因为，，则，所以有两个不等实根，设为、，因为，所以，，不妨设，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减.所以函数的极大值为，由得，因为，，所以．所以函数是“函数”．20．某温泉度假村拟以泉眼为圆心建造一个半径为米的圆形温泉池，如图所示，、是圆上关于直径对称的两点，以为圆心，为半径的圆与圆的弦、分别交于点、，其中四边形为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设．（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，因为，，所以，，所以池内休息区总面积；（2）在中，因为，，所以，，，由，得，则池内休息区总面积，；设，，因为，又，所以，使得，则当时，在上单调增，当时，在上单调递减，即是极大值，也是最大值，所以，此时．21．已知函数.（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.①若，求证：为在上的上界函数；②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.【解析】（1）因为，所以，所以函数的图象在处的切线斜率.又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；（2）①由题意得函数的定义域为.令，得.所以当时，；当时，.故函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因为，所以，故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，从而，所以，即，所以函数为在上的上界函数；②因为函数为在上的下界函数，所以，即.因为，所以，故.令，，则.设，，则，所以当时，，从而函数在上单调递增，所以，故在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而.因为在上恒成立，所以在上恒成立，故，即实数的取值范围为.